高中数学 第四章 导数及其应用 4.4 生活中的优化问题举例基础达标 湘教版选修2-2-湘教版高二选修2-2数学试题VIP专享VIP免费

4．4生活中的优化问题举例1．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为()A.B.C.D．2解析设底面边长为x，则表面积S＝x2＋V(x>0)，S′＝(x3－4V)，令S′＝0，得唯一极值点x＝.答案C2．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是()．A．150B．200C．250D．300解析 总利润P(x)＝由P′(x)＝0，得x＝300，故选D.答案D3．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0,0.048))，则x为多少时，银行可获得最大收益(A．0.016B．0.032C．0.024D．0.048解析依题意：存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048kx2，其中x∈(0,0.048)．所以银行的收益是y＝0.048kx2－kx3(00；当0.0320)，S′＝a－，令S′＝0，得唯一极值点，a＝＝4.答案45．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．解析利润为S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6000，S′(x)＝－2x＋230.由S′(x)＝0得x＝115，这时利润达到最大．答案1156．(2011·福建)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中30；480时，y′>0；当x<80时，y′<0.所以当x＝80时，y取得最小值．答案B8．(2011·湖南)设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为()．A．1B.C.D.解析|MN|＝y＝t2－lnt(t>0)，y′＝2t－＝.当0时，y′>0.∴y在上递减，上递增，∴t＝时，|MN|取得最小值．答案D9．用总长为14.8m的钢条做一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为________时容器的容积最大？解析设容器底面的一边为x，则另一边长为x＋0.5，高为3.2－2x，则V＝x(x＋0.5)(3.2－2x)．V′＝－6x2＋4.4x＋1.6.令V′＝0得x＝1.∴x＝1时，V取得最大值．∴高为3.2－2×1＝1.2(m)答案1.2m10．将长为l的铁丝剪成2段，各围成长宽之比为2∶1及3∶2的矩形，则面2积之和的最小值为________．解析设前者宽为x，面积之和为y，则y＝2x·x＋(l－6x)(l－6x)＝x2－lx＋l2，y′＝x－l.令y′＝0得，x＝l.∴y的最小值为y|x＝l＝l2.答案l211．(2011·江苏)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直...