高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.4.1 曲线与方程课时作业 北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-1数学试题VIP免费

3.4.1曲线与方程[基础达标]已知曲线C的方程为x2－xy＋y－5＝0，则下列各点中，在曲线C上的点是()A．(－1，2)B．(1，－2)C．(2，－3)D．(3，6)解析：选A.代入检验知只有(－1，2)使方程成立．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于x－y＝0对称解析：选C.同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称．在直角坐标系中，方程|x|·y＝1的曲线是()解析：选C.当x＞0时，方程为xy＝1，又y＞0，故在第一象限有一支图像；当x＜0时，方程为－xy＝1，又y＞0，故在第二象限有一支图像．已知定点A(1，0)和定直线l：x＝－1，在l上有两动点E，F，且满足AE⊥AF，另有动点P，满足EP∥OA，FO∥OP(O为坐标原点)，则动点P的轨迹方程为()A．y2＝4xB．y2＝4x(x≠0)C．y2＝－4xD．y2＝－4x(x≠0)解析：选B.设P(x，y)，E(－1，y1)，F(－1，y2)(y1，y2均不为零)，由EP∥OA，得y1＝y，即E(－1，y)．由FO∥OP，得y2＝－，即F(－1，－)．由AE⊥AF，得y2＝4x(x≠0)．故选B.已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足条件|PA|＝2|PB|，则动点P的轨迹所围成的图形的面积等于()A．9πB．8πC．4πD．π解析：选C.设P(x，y)，由题意＝2，化简整理得(x－2)2＋y2＝4，动点P的轨迹是半径为2的圆，其面积为4π.已知方程x2＋y2＋2x－4＝0的曲线经过点P(m，1)，那么m的值为________．解析：把P(m，1)代入方程得m2＋1＋2m－4＝0，即m2＋2m－3＝0，∴m＝－3或m＝1.答案：－3或1已知动点P在曲线2x2－y＝0上移动，则点A(0，－1)与点P连线的中点M的轨迹方程是________．解析：设P(x′，y′)，M(x，y)，则即，由于P(x′，y′)在曲线2x2－y＝0上，∴2(2x)2－(2y＋1)＝0，∴y＝4x2－.答案：y＝4x2－如图，已知点P(－3，0)，点Q在x轴上，点A在y轴上，且PA·AQ＝0，QM＝2AQ.当点A在y轴上移动时，动点M的轨迹方程是________．1解析：设动点M(x，y)，A(0，b)，Q(a，0)， P(－3，0)，∴PA＝(3，b)，AQ＝(a，－b)，QM＝(x－a，y)． PA·AQ＝0，∴(3，b)·(a，－b)＝0，即3a－b2＝0.① QM＝2AQ，∴(x－a，y)＝2(a，－b)，即x＝3a，y＝－2b.②由①②，得y2＝4x.∴动点M的轨迹方程为y2＝4x.答案：y2＝4x如图所示，已知P(4，0)是圆x2＋y2＝36内的一点，A、B是圆上的两动点，且∠APB＝90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程．解：设AB的中点为D(x0，y0)，Q(x，y)，在△ABP中， |AD|＝|BD|，又D是弦AB的中点，根据垂径定理，有|AD|2＝|AO|2－|OD|2＝36－(x＋y)．∴|DP|2＝|AD|2＝36－(x＋y)．∴(x0－4)2＋y＝36－(x＋y)，即x＋y－4x0－10＝0. 代入上式，得＋－2(x＋4)－10＝0.即x2＋y2＝56.∴矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程为x2＋y2＝56.(1)长为2的线段AB的两端点分别在两条互相垂直的直线上滑动，求线段AB的中点M的轨迹方程．(2)已知△ABC的两个顶点坐标分别为A(－2，0)，B(0，－2)，第三个顶点C在曲线y＝3x2－1上移动．求△ABC的重心的轨迹方程．解：(1)如图，以这两条直线为坐标轴，建立直角坐标系，连接OM，设M(x，y)．由题意知，|OM|＝|AB|＝1，∴点M的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆，∴点M的轨迹方程是x2＋y2＝1.(2)设重心坐标为(x，y)，顶点C(x0，y0)，依题意有解得①因为点C在y＝3x2－1上移动，所以y0＝3x－1.②将①代入②，得y＝9x2＋12x＋3，即为重心的轨迹方程．[能力提升]2在平面直角坐标系中，已知A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足OC＝αOA＋βOB，其中α，β∈R，且α＋β＝1，O为坐标原点，则点C的轨迹为()A．射线B．直线C．圆D．线段解析：选B.OA＝(3，1)，OB＝(－1，3)，设C(x，y)，即OC＝(x，y)， OC＝αOA＋βOB，∴(x，y)＝α(3，1)＋β(－1，3)，∴，∴.由α＋β＝1消去α，β得x＋2y－5＝0.方程|x|＋|y|＝|xy|＋1表示的曲线是________．解析：对于方程|x|＋|y|＝|xy|＋1，①当x≥0，y≥0时，x＋y＝xy＋1即(x－1)(1－y)＝0，也就是x＝1，y＝1，这时曲线表示x＝1，y＝1在第一象限的部分及x轴，y轴上的点(1，0)和(0，1)．②当x≥0，y≤0时，x－y＝－xy＋1即(x－1)(y＋1)＝0，这时曲线表示x＝1，y＝－1在第四象限的部分及x轴，y轴上的点...