3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算A级基础巩固一、选择题1．有下列命题：①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb；③若MP＝xMA＋yMB，则P，M，A，B共面；④若P，M，A，B共面，则MP＝xMA＋yMB.其中真命题的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：其中①③为真命题．答案：B2．在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，与向量AD相等的向量共有()A．1个B．2个C．3个D．4答案：C3．已知空间向量AB、BC、CD、AD，则下列结论正确的是()A.AB＝BC＋CDB.AB－DC＋BC＝ADC.AD＝AB＋BC＋DCD.BC＝BD－DC解析：AB－DC＋BC＝AB＋BC＋CD＝AC＋CD＝AD.答案：B4．空间任意四个点A、B、C、D，则BA＋CB－CD等于()A.DBB.ADC.DAD.AC解析：BA＋CB－CD＝CB＋BA－CD＝CA－CD＝DA.答案：C5．在正方体ABCDA1B1C1D1中，给出以下向量表达式：①(A1D1－A1A)－AB；②(BC＋BB1)－D1C1；③(AD－AB)－2DD1；④(B1D1＋A1A)＋DD1.其中能够化简为向量BD1共有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B二、填空题6．两个非零向量的长度相等是两个向量相等的_______条件．答案：必要不充分7．已知正方体ABCDA1B1C1D1的中心为O.1①OA＋OD与OB1＋OC1是一对相反向量；②OB－OC与OA1－OD1是一对相反向量；③OA＋OB＋OC＋OD与OA1＋OB1＋OC1＋OD1是一对相反向量；④OA1－OA与OC－OC1是一对相反向量．则上述结论正确的有________(填写正确命题的序号)．答案：①③④8．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，若CA＝a，CB＝b，CC1＝c，则A1B＝________(用a，b，c表示)．解析：A1B＝CB－CA1＝CB－(CA＋CC1)＝－a＋b－c.答案：－a＋b－c三、解答题9．在长方体ABCDA1B1C1D1中，画出表示下列向量的有向线段．(1)AB＋AD＋AA1；(2)AB＋CC1－DD1.解：如图(1)AB＋AD＋AA1＝AC＋AA1＝AC1.(2)AB＋CC1－DD1＝AB＋BB1－AA1＝AB1－AA1＝A1B1.图中AC1，A1B1为所求．10．已知平行六面体ABCDA′B′C′D′.求证：AC＋AB′＋AD′＝2AC′.证明：因为平行六面体的六个面均为平行四边形．所以AC＝AB＋AD，AB′＝AB＋AA′，AD′＝AD＋AA′，所以AC＋AB′＋AD′＝(AB＋AD)＋(AB＋AA′)＋(AD＋AA′)＝2(AB＋AD＋AA′)．又因为AA′＝CC′，AD＝BC，所以AB＋AD＋AA′＝AB＋BC＋CC′＝AC＋CC′＝AC′，所以AC＋AB′＋AD′＝2AC′.B级能力提升1．如图，在四棱柱的上底面ABCD中，AB＝DC，则下列向量相等的是()2A.AD与CBB.OA与OCC.AC与DBD.DO与OB答案：D2．已知点M是△ABC的重心，则MA＋MB＋MC＝________．解析：设D为AB的中点，则MA＋MB＝2MD，又M为△ABC的重心，则MC＝－2MD，所以MA＋MB＋MC＝0.答案：03．已知点G是△ABC的重心，O是空间任意一点，若OA＋OB＋OC＝λOG，求λ的值．解：连接CG并延长交AB于D，则D为AB中点，且CG＝2GD，所以OA＋OB＋OC＝OG＋GA＋OG＋GB＋OG＋GC＝3OG＋GA＋GB＋GC＝3OG＋2GD＋GC＝3OG－GC＋GC＝3OG.所以λ＝3.3
