核心素养测评五函数的奇偶性、对称性与周期性(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列函数中,与函数y=-3|x|的奇偶性相同,且在(-∞,0)上单调性也相同的是()A.y=-B.y=log2|x|C.y=1-x2D.y=x3-1【解析】选C.函数y=-3|x|为偶函数,在(-∞,0)上为增函数,选项B的函数是偶函数,但其单调性不符合,只有选项C符合要求.【变式备选】下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)上单调递增的函数是()A.y=B.y=|x|+1C.y=-x2+1D.y=2-|x|【解析】选B.因为y=是奇函数,y=|x|+1,y=-x2+1,y=2-|x|均为偶函数,所以A错误;又因为y=-x2+1,y=2-|x|=在(0,+∞)上均为减函数,只有y=|x|+1在(0,+∞)上为增函数,所以C,D错误.2.已知函数f(x)=的图象关于原点对称,g(x)=ln(ex+1)-bx是偶函数,则logab=()A.1B.-1C.-D.【解析】选B.由题意得f(0)=0,所以a=2.因为g(1)=g(-1),所以ln(e+1)-b=ln+b,所以b=,所以log2=-1.3.x为实数,[x]表示不超过x的最大整数,则函数f(x)=x-[x]在R上为()A.奇函数B.偶函数C.增函数D.周期函数【解析】选D.函数f(x)=x-[x]在R上的图象如图:所以f(x)在R上是周期为1的函数.4.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x,若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)【解析】选C.因为f(x)是奇函数,所以当x<0时,f(x)=-x2+2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示,结合图象可知,f(x)是R上的增函数,由f(2-a2)>f(a),得2-a2>a,解得-2
0时,f(x)=x2-x,则当x<0时,f(x)=________.【解析】函数f(x)在R上为奇函数,f(-x)=-f(x);且x>0时,f(x)=x2-x,则当x<0时,f(x)=-f(-x)=-(x2+x)=-x2-x.答案:-x2-x7.(2019·东莞模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数,在区间(-∞,0]上为增函数,且f(3)=0,则不等式f(1-2x)>0的解集为________.【解析】根据题意,因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0]上为增函数,所以函数f(x)在[0,+∞)上为减函数,由f(3)=0,则不等式f(1-2x)>0⇒f(1-2x)>f(3)⇒|1-2x|<3,解得-10,所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x).于是x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以m=2.(2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,结合f(x)的图象知所以1
