课时作业17空间向量的正交分解及其坐标表示[基础巩固]一、选择题1．设命题p：a，b，c是三个非零向量，命题q：{a，b，c}为空间的一个基底，则命题p是命题q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．若O，A，B，C为空间四点，且向量OA，OB，OC不能构成空间的一个基底，则()A.OA，OB，OC共线B.OA，OB共线C.OB，OC共线D．O，A，B，C四点共面3．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，若A1B1＝a，A1D1＝b，AA1＝c，则下列向量中与A1C相等的向量是()A．－a＋b＋cB．a－b＋cC．a＋b＋cD．a＋b－c4．已知平行六面体OABC－O′A′B′C′，OA＝a，OC＝c，OO′＝b，D是四边行OABC的对角线的交点，则()A.O′D＝－a＋b＋cB.O′D＝－b－a－cC.O′D＝a－b－cD.O′D＝a－b＋c5．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，OG＝3GG1，若OG＝xOA＋yOB＋zOC，则(x，y，z)为()A.B.C.D.二、填空题6．若向量a，b，c为空间向量的正交基底，则向量a，b，c的位置关系是________．7．若向量i，j，k为空间直角坐标系上对应x轴，y轴，z轴正方向的单位向量，且设a＝2i－j＋3k，则向量a的坐标为________________________．8．在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上的一点，BE＝3ED，以{AB，AC，AD}为基底，则GE＝________________.三、解答题9．若{a，b，c}是空间一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．10．如图，在空间直角坐标系中，有长方体OABC－O′A′B′C′，且OA＝6，OC＝8，OO′＝5.(1)写出点B′的坐标，给出OB′关于i，j，k的分解式；(2)求OC′的坐标．1[能力提升]11．如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，CB的中点，点G在线段MN上，且MG＝3GN，用向量OA，OB，OC表示向量OG，则()A.OG＝OA＋OB＋OCB.OG＝OA＋OB＋OCC.OG＝OA＋OB＋OCD.OG＝OA＋OB＋OC12．如图在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则B1M＝________.13．如图所示，在正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中：(1)化简A1F1－EF－BA＋FF1＋CD＋F1A1，并在图中标出化简结果的向量；(2)化简DE＋E1F1＋FD＋BB1＋A1E1，并在图中标出化简结果的向量．14．在直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点．在如图所2示的空间直角坐标系中，求DO，A1B的坐标．课时作业17空间向量的正交分解及其坐标表示1．解析：当三个非零向量a，b，c共面时，a，b，c不能构成空间的一个基底；当{a，b，c}为空间的一个基底时，必有a，b，c都是非零向量．故命题p是命题q的必要不充分条件．答案：B2．解析：由OA，OB，OC不能构成基底，知OA，OB，OC三向量共面，所以O，A，B，C四点共面．答案：D3．解析：A1C＝A1C1＋C1C＝A1B1＋A1D1＋C1C＝A1B1＋A1D1－AA1＝a＋b－c.故选D.答案：D4．解析：O′D＝O′O＋OD＝－OO′＋(OA＋OC)＝OA－OO′＋OC＝a－b＋c.故选D.答案：D5．解析：如图，由已知OG＝OG1＝(OA＋AG1)＝＝OA＋[(OB－OA)＋(OC－OA)]＝OA＋OB＋OC，从而x＝y＝z＝.故选A.答案：A6．解析：由正交基底的定义知，只有当向量a，b，c两两垂直时，才能成为空间向量的正交基底，故向量a，b，c的位置关系是两两垂直．答案：两两垂直7．解析：由向量的单位正交基底表示已知向量a的坐标为(2，－1,3)．答案：(2，－1,3)8．解析：设AC的中点为F，则GE＝GB＋BE＝FB＋BD＝－×(BC＋BA)＋BD＝－(AC－2AB)＋(AD－AB)＝－AC－AB＋AD.答案：－AC－AB＋AD9．解析：假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，所以a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.因为{a，b，c}为基底，3所以a，b，c不共面．所以此方程组无解．所以a＋b，b＋c，c＋a不共面，所以{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．10．解析：(1)因为OA＝6，OC＝8，OO′＝5，所以点B′的坐标为(6,8,5)，从而OB′＝(6,8,5)＝6i＋8j＋5k.(2)因为点C′的坐标是(0,8,5)，所以OC′＝(0,8,5)．11．解析：由题意得OG＝OM＋MG＝OA＋MN＝OA＋(ON－OM)＝OA＋(－OA)＝OA＋OB＋OC.答案：D12．解析：B1M＝AM－AB1＝(AB＋AD)－(AB＋AA1)＝－...
