【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第一章导数及其应用1.4导数在实际生活中的应用学业分层测评苏教版选修2-2(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________万件．【解析】因为y′＝－x2＋81，令y′＝0，得x＝9.当0
0；当x>9时，y′<0.故当x＝9时，函数有极大值，也是最大值．【答案】92．做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．【解析】设半径为r，则高h＝，∴S＝2πr·h＋πr2＝2πr·＋πr2＝＋πr2.令S′＝2πr－＝0，得r＝3，∴当r＝3时，用料最省．【答案】33．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为________．【解析】设直棱柱的底面边长为a，高为h，依题意，a2·h＝V，∴ah＝.因此表面积S＝3ah＋2·a2＝＋a2.∴S′＝a－，由S′＝0，得a＝.易知当a＝时，表面积S取得最小值．【答案】4．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170p－p2.则最大毛利润为______元．(毛利润＝销售收入－进货支出)【解析】设毛利润为L(p)由题意知：L(p)＝pQ－20Q＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000，所以，L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．此时，L(30)＝23000.因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0，所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23000元．【答案】230005．为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长为a米，高为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a＝________，b＝________时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)．1图144【解析】设y为流出的水中杂质的质量分数，则y＝，其中k(k>0)为比例系数．依题意，即所求的a，b值使y值最小，根据题设，4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)得b＝.于是y＝＝＝.(00)，求导数，得l′＝2－.令l′＝0，解得y＝16或y＝－16(舍去)．当016时，l′>0.所以y＝16是函数l＝2y＋(y>0)的极小值点，也是最小值点．此时，x＝＝32.所以当堆料场的长为32米，宽为16米时，砌新墙壁所用的材料最省．【答案】32米16米7．如图145，将边长为1m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s＝，则s的最小值是________．图145【解析】设DE＝x，则梯形的周长为3－x，梯形的面积为(x＋1)·(1－x)＝(1－x2)，∴s＝＝·，x∈(0,1)，设h(x)＝，h′(x)＝.令h′(x)＝0，得x＝或x＝3(舍)，∴h(x)最小值＝h＝8，∴s最小值＝×8＝.【答案】8．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10km/h时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，当行驶每千米的费用总和最小时，此轮船的航行速度为__________km/h.2【解析】设轮船的速度为xkm/h时，燃料费用为Q元，则Q＝kx3(k≠0)．因为6＝k×103，所以k＝，所以Q＝x3.所以行驶每千米的费用总和为y＝·＝x2＋(x>0)．所以y′＝x－.令y′＝0，解得x＝20.因为当x∈(0,20)时，y′<0，此时函数单调递减；当x∈(20，＋∞)时，y′>0，此时函数单调递增，所以当x＝20时，y取得...
