3.3.1利用导数判断函数的单调性课时过关·能力提升1.函数y=2x-x2的单调递增区间为()A.(-∞,2)B.(-∞,1)C.(1,+∞)D.(2,+∞)答案:B2.函数y¿13x3-9x+5的单调递减区间为()A.(-∞,-3)和(0,3)B.(-3,3)C.(-3,0)D.(-∞,-3)和(3,+∞)答案:B3.在区间(a,b)内,f'(x)>0,且f(a)≥0,则在区间(a,b)内有()A.f(x)>0B.f(x)<0C.f(x)=0D.不能确定解析:由f'(x)>0,知f(x)在区间(a,b)内是增函数.又f(a)≥0,故f(x)>0.答案:A4.函数f(x)=lnx-ax(a>0)的单调递增区间为()A.(0,1a)B.(1a,+∞)C.(0,+∞)D.(0,a)解析:令f'(x¿=1x−a=1-axx>0,则(ax-1)x<0.又a>0,所以00,f(x)在此区间上是增函数;在(-1,0)上,f'(x)<0,f(x)在此区间上是减函数;在(0,1)上,f'(x)<0,f(x)在此区间上是减函数;在(1,+∞)上,f'(x)>0,f(x)在此区间上是增函数.结合所给选项应选C.答案:C6.函数f(x)=sinx,x∈(0,2π)的单调递减区间为.解析:f'(x)=cosx,令f'(x)<0,即cosx<0,又x∈(0,2π),所以x∈(π2,3π2).答案:(π2,3π2)7.函数y=x3-6x2+3x+1的单调递增区间为,单调递减区间为.解析:令f(x)=x3-6x2+3x+1,则f'(x)=3(x-2+√3¿¿x-2−√3¿.当x∈(-∞,2−√3¿时,f'(x)>0,f(x)在(-∞,2−√3¿上是增函数;当x∈(2−√3,2+√3)时,f'(x)<0,f(x)在(2−√3,2+√3)上是减函数;当x∈¿+∞)时,f'(x)>0,f(x)在¿+∞)上是增函数.综上,f(x)的单调递增区间是(-∞,2−√3¿和¿+∞),f(x)的单调递减区间是(2−√3,2+√3).答案:(-∞,2−√3¿和¿+∞)(2−√3,2+√3)8.若函数y=ax3-x在(-∞,+∞)上是减函数,则a的取值范围为.解析:y'=3ax2-1,∵函数y=ax3-x在(-∞,+∞)上是减函数,∴3ax2-1≤0在R上恒成立,当x=0时,恒成立,当x≠0时,a≤13x2恒成立.2又∵13x2>0,∴a≤0.答案:(-∞,0]9.已知函数f(x)=x3+ax+8的单调递减区间为(-5,5),求函数f(x)的单调递增区间.分析:先根据f(x)在区间(-5,5)内为减函数求得a值,再应用导数求f(x)为增函数的区间.解:f'(x)=3x2+a.∵在(-5,5)上函数f(x)是减函数,则-5,5是方程3x2+a=0的根.∴a=-75.此时,f'(x)=3x2-75.令f'(x)>0,则3x2-75>0.解得x>5或x<-5.∴函数y=f(x)的单调递增区间为(-∞,-5)和(5,+∞).★10.已知函数f(x)=x3-ax-1,(1)若f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围.(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)内单调递减?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.(3)求证f(x)=x3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方.分析:(1)利用函数的单调性与导数的关系可得到f'(x)≥0在R上恒成立,然后用分离参数法可求参数a的范围.(2)若找到a的值满足不等式f'(x)≥0在(-1,1)上恒成立,则a存在,否则不存在.(3)特值验证,若找到图象上点的坐标小于等于a,则命题得以证明.解:(1)由已知f'(x)=3x2-a.∵f(x)在R上是增函数,∴f'(x)=3x2-a≥0在R上恒成立,即当a≤3x2时,x∈R恒成立.∵3x2≥0,∴只需a≤0.又当a=0时,f'(x)=3x2≥0,f(x)=x3-ax-1在实数集R上是增函数,∴a≤0.(2)由f'(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,得a≥3x2,x∈(-1,1)恒成立.∵-1
