高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 双曲线 课堂10分钟达标 2.2.2.2 双曲线方程及性质的应用检测（含解析）新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学试题VIP免费

课堂10分钟达标1.若直线x=a与双曲线-y2=1有两个交点,则a的值可以是()A.4B.2C.1D.-2【解析】选A.因为双曲线-y2=1中,x≥2或x≤-2,所以若x=a与双曲线有两个交点,则a>2或a<-2,故只有A选项符合题意.2.设双曲线-=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程为()A.y=±xB.y=±xC.y=±2xD.y=±x【解析】选B.由题意知:2b=2,2c=2,则可求得a=,则双曲线方程为-y2=1,故其渐近线方程为y=±x.3.已知双曲线-=1和椭圆+=1(a>0,m>b>0)的离心率互为倒数,那么以a,b,m为边长的三角形一定是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【解析】选B.由题意知·=1,化简得a2+b2=m2,所以以a,b,m为边长的三角形为直角三角形.4.双曲线-=1上一点P到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项,则P点到左焦点的距离为________.【解析】由a=4,b=3,得c=5,设左焦点为F1,右焦点为F2,则|PF2|=(a+c+c-a)=c=5,由双曲线的定义得|PF1|=2a+|PF2|=8+5=13.答案:135.已知双曲线的中心是坐标原点,实轴在y轴上,离心率为2,且双曲线两支上的点的最近距离为4,则双曲线的标准方程为____________.【解析】因为双曲线的实轴在y轴上,所以焦点在y轴上.因为双曲线两支上的点的最近距离为4,1即两顶点之间的距离为4,所以a=2.又因为离心率为2,所以c=4,所以b2=c2-a2=12,所以双曲线的标准方程为-=1.答案:-=16.求经过点且与双曲线4x2-y2=1仅有一个公共点的直线方程.【解析】当直线斜率存在时,设所求直线方程为y-2=k,代入双曲线方程4x2-y2=1,得(4-k2)x2-2kx-=0.(1)当k=2时,直线方程为y=2x+1,与双曲线只有一个公共点.(2)当k=-2时,直线方程为y=-2x+3,与双曲线只有一个公共点.(3)当直线和双曲线相切时,仅有一个公共点,此时由得k=,可得直线方程为y=x+.当k不存在时,直线x=也满足题意.故经过点且与双曲线4x2-y2=1仅有一个公共点的直线有四条,它们的方程分别为y=2x+1,y=-2x+3,y=x+,x=.7.【能力挑战题】设双曲线x2-=1上有两点A,B,AB中点M(1,2),求直线AB的方程.【解析】方法一(用根与系数的关系解决)显然直线AB的斜率存在.设直线AB的方程为y-2=k(x-1),即y=kx+2-k,由得(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0,当Δ>0时,设A(x1,y1),B(x2,y2),则1==,所以k=1,满足Δ>0,所以直线AB的方程为y=x+1.2方法二(用点差法解决)设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减得(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2).因为x1≠x2,所以=,所以kAB==1,所以直线AB的方程为y=x+1,代入x2-=1满足Δ>0.所以直线AB的方程为y=x+1.34