第2节等差数列【选题明细表】知识点、方法题号等差数列的判定与证明13,14等差数列的基本运算1,3,10等差数列的性质2,4,8,9等差数列的单调性、最值5,7,12等差数列的综合应用6,11,15基础对点练(时间:30分钟)1.(2016昆明一中月考)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3=3,S9-S6=27,则该数列的首项a1等于(D)(A)-(B)-(C)(D)解析:由得解得a1=.故选D.2.(2015河北石家庄二模)已知数列{an}为等差数列,且a1+a7+a13=4,则a2+a12的值为(B)(A)(B)(C)2(D)4解析:因为a1+a7+a13=3a7=4,所以a7=.所以a2+a12=2a7=2×=.3.(2016云南第二次检测)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则等于(D)(A)(B)(C)4(D)5解析:因为=,所以=,解得a1=-.所以====5.4.(2015郑州第一次质量预测)已知数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a1a2a3=10,且=,则a2等于(A)(A)2(B)3(C)4(D)5解析:因为S5==5a3,又=,所以=,所以a1a3=5,又a1a2a3=10,所以a2=2.5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=-9,a3+a7=-6,则当Sn取得最小值时,n等于(D)(A)9(B)8(C)7(D)6解析:因为a3+a7=2a5=-6,所以a5=-3,所以d=2,所以a6=-1,a7=1,所以S6最小.故选D.6.(2015高考北京卷)设{an}是等差数列.下列结论中正确的是(C)(A)若a1+a2>0,则a2+a3>0(B)若a1+a3<0,则a1+a2<0(C)若0
(D)若a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>0解析:因为{an}为等差数列,所以2a2=a1+a3.当a2>a1>0时,得公差d>0,所以a3>0,所以a1+a3>2,所以2a2>2,即a2>,故选C.7.(2016湖南省师范大学附属中学高三上月考)已知数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,且1+<0.若Sn存在最大值,则满足Sn>0的n的最大值为.解析:因为Sn有最大值,则数列{an}单调递减.又<-1,则a10>0,a11<0,且a10+a11<0.所以S19=19×=19a10>0,S20=20×=10(a10+a11)<0,故n的最大值为19.答案:198.(2016黑龙江高三模拟)等差数列{an}中,a4+a8+a12=6,则a9-a11=.解析:法一因为a4+a8+a12=6,所以3a8=6,所以a8=2.所以a9-a11=a1+8d-(a1+10d)=a1+d=(a1+7d)=a8=.法二因为a4+a8+a12=6,所以3a8=6,所以a8=2.所以a9-a11=(3a9-a11)=(a9+a7+a11-a11)=(a9+a7)=a8=.答案:9.由正数组成的等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且=,则=.解析:由S5==5a3,T5==5b3,得===.答案:10.(2016河北模拟)若等差数列{an}的公差d<0,且a2·a4=12,a2+a4=8.(1)求数列{an}的首项a1和公差d;(2)求数列{an}的前10项和S10的值.解:(1)设an=a1+(n-1)d,则解得a1=8,d=-2.(2)S10=10a1+d=10×8+×(-2)=-10.11.(2015湖南模拟)已知数列{an}满足:a3=-13,an=an-1+4(n>1,n∈N*).(1)求a1,a2及通项an;(2)设Sn为数列{an}的前n项和,则数列S1,S2,S3,…中哪一项最小?解:(1)因为数列{an}满足a3=-13,an=an-1+4,所以an-an-1=4,即数列{an}为等差数列且公差为d=4,所以a2=a3-d=-13-4=-17,a1=a2-d=-17-4=-21,所以通项an=a1+(n-1)d=-21+4(n-1)=4n-25.(2)令an=4n-25≥0可解得n≥,所以数列{an}的前6项为负值,从第7项开始为正数,所以数列S1,S2,S3,…中S6最小.能力提升练(时间:15分钟)12.(2015甘肃二诊)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足S17>0,S18<0,则,,…,中最大的项为(C)(A)(B)(C)(D)解析:因为S17==17a9>0,所以a9>0,又S18=9(a1+a18)=9(a9+a10)<0,所以a10<0,所以等差数列{an}为递减数列,a1,a2,…,a9为正,a10,a11,…为负;S1,S2,…,S17为正,S18,S19,…为负,则>0,>0,…,>0,<0,…,<0,而S1a2>…>a9,所以,,…,中最大的项为.13.正项数列{an}满足:a1=1,a2=2,2=+(n∈N*,n≥2),则a7=.解析:因为2=+(n∈N*,n≥2),所以数列{}是以=1为首项,以d=-=4-1=3为公差的等差数列,所以=1+3(n-1)=3n-2,所以an=,n≥1.所以a7==.答案:14.已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前n项和为Sn,且Sk=110.(1)求a及k的值;(2)设数列{bn}的通项公式bn=,证明数列{bn}是等差数列,并求其前n项和Tn.解:(1)设该等差数列为{an},则a1=a,a2=4,a3=3a,由已知有a+3a=8,得a1=a=2,公差d=4-2=2,所以Sk=ka1+·d=2k+×2=k2+k.由Sk=110,得k2+k-110=0,解得k=10或k=-11(舍去),故a=2,k=10.(2)由(1)得Sn==n(n+1),则bn==n+1,故bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1,即数列{bn}是首项为2,公差为1的等差数列,所以Tn==.15.(2015南昌模拟)已知数列{an}满足a1=1,an=(n∈N*,n≥2),数列{bn}满足关系式bn=(n...
