第二章几个重要的不等式测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.用数学归纳法证明2n≥n2(n≥5,n∈N+)成立时第二步归纳假设的正确写法是()A.假设n=k时命题成立B.假设n=k(k∈N+)时命题成立C.假设n=k(k≥5)时命题成立D.假设n=k(k>5)时命题成立解析:由数学归纳法的步骤可知,C项正确.答案:C2.下列不等式一定成立的是()A.(ax+by)2≥(a2+b2)(x2+y2)B.|ax+by|≥C.(a2+b2)(x2+y2)≥(ay+bx)2D.(a2+b2)(x2+y2)≥(ab+xy)2解析:由柯西不等式可知,只有C项正确.答案:C3.若x>-1,x≠0,则下列不等式不正确的是()A.(1+x)4>1+4xB.(1+x>1+xC.(1+x)-3>1-3xD.(1+x>1+x解析:由贝努利不等式可得D项不正确.答案:D4.若3x+2y+z=,则x2+y2+z2的最小值是()A.B.1C.D.2解析:由柯西不等式可得(32+22+12)(x2+y2+z2)≥(3x+2y+z)2,即14(x2+y2+z2)≥()2=7,于是x2+y2+z2≥,当且仅当=z,即x=,y=,z=时取等号,故x2+y2+z2的最小值是.答案:A5.设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,S1=a1bn+a2bn-1+…+anb1,S2=a1b1+a2b2+…+anbn,则有()A.S1>S2B.S1≥S2C.S1BB.A0.且0<≤…≤.4,…,为序列的一个排列,根据排序不等式,得F=+…+≥+…+=x1+x2+…+xn=P(定值),即F=+…+的最小值为P.答案:P15.设f(n)=,用数学归纳法证明f(n)≥3.在“假设n=k时成立”后,f(k+1)与f(k)的关系是f(k+1)=f(k)·.解析:当n=k时,f(k)=;当n=k+1时,f(k+1)=,所以f(k)应乘.答案:16.设a,b均为正实数,n∈N+,已知M=(a+b)n,N=an+nan-1b,则M,N的大小关系为.5解析:由贝努利不等式(1+x)n>1+nx(x>-1,且x≠0,n>1,n∈N+),当n>1时,令x=,所以>1+n·,所以>1+n·,即(a+b)n>an+nan-1b,当n=1时,M=N,故M≥N.答案:M≥N三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知a>0,b>0,a+b=1,求证:≤2.证明由柯西不等式可得()2=(·1+·1)2≤[()2+()2](12+12),因此()2≤2(2a+2b+2)=8,当且仅当a=b=时等号成立,故≤2.18.导学号35664049(本小题满分12分)求证:tanα·tan2α+tan2α·tan3α+…+tan(n-1)α·...
