第二章几个重要的不等式测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1
用数学归纳法证明2n≥n2(n≥5,n∈N+)成立时第二步归纳假设的正确写法是()A
假设n=k时命题成立B
假设n=k(k∈N+)时命题成立C
假设n=k(k≥5)时命题成立D
假设n=k(k>5)时命题成立解析:由数学归纳法的步骤可知,C项正确
下列不等式一定成立的是()A
(ax+by)2≥(a2+b2)(x2+y2)B
|ax+by|≥C
(a2+b2)(x2+y2)≥(ay+bx)2D
(a2+b2)(x2+y2)≥(ab+xy)2解析:由柯西不等式可知,只有C项正确
若x>-1,x≠0,则下列不等式不正确的是()A
(1+x)4>1+4xB
(1+x>1+xC
(1+x)-3>1-3xD
(1+x>1+x解析:由贝努利不等式可得D项不正确
若3x+2y+z=,则x2+y2+z2的最小值是()A
2解析:由柯西不等式可得(32+22+12)(x2+y2+z2)≥(3x+2y+z)2,即14(x2+y2+z2)≥()2=7,于是x2+y2+z2≥,当且仅当=z,即x=,y=,z=时取等号,故x2+y2+z2的最小值是
设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,S1=a1bn+a2bn-1+…+anb1,S2=a1b1+a2b2+…+anbn,则有()A
S1>S2B
S1≥S2C
S11时,令x=,所以>1+n·,所以>1+n·,即(a+b)n>an+nan-1b,当n=1时,M=N,故M≥N
答案:M≥N三、解答题(本大题共6小题,共70分)17
(本小题满分10分)已知a>0,b>0,a+b=1,求证:≤2
证明由柯西不等式可得()2=(·1+·1)2≤[()2+()2](
