高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3 全称量词与存在量词 1.3.2 全称命题与特称命题的否定课时作业 北师大版选修1-1-北师大版高二选修1-1数学试题VIP免费

1.3.2全称命题与特称命题的否定一、选择题1．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数解析：全称命题的否定：所有变为存在，且否定结论．所以原命题的否定是：存在一个能被2整除的整数不是偶数．答案：D2．[2013·四川高考]设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则()A.¬p：∀x∈A,2x∉BB.¬p：∀x∉A,2x∉BC.¬p：∃x∉A,2x∈BD.¬p：∃x∈A,2x∉B解析：因全称命题的否定是特称命题，故命题p的否定为¬p：∃x∈A,2x∉B.故选D.答案：D3．下列命题的否定是真命题的是()A．有理数是实数B．有些平行四边形是菱形C．∃x0∈R,2x0＋3＝0D．∀x∈R，x2－2x>1解析：根据原命题和它的否定真假相反的法则判断．A、B、C显然正确，而D中不等式解集不是R，故选D.答案：D4．“存在整数m0，n0，使得m＝n＋2011”的否定是()A．任意整数m，n，使得m2＝n2＋2011B．存在整数m0，n0，使得m≠n＋2011C．任意整数m，n，使得m2≠n2＋2011D．以上都不对解析：特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．答案：C二、填空题5．[2014·山东滨州二模]命题“偶函数的图像关于y轴对称”的否定是________．解析：本题主要考查全称命题的否定．本题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图像关于y轴对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y轴对称”改为“关于y轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图像关于y轴不对称”．答案：有些偶函数的图像关于y轴不对称16．若关于x的函数y＝的定义域是全体实数，则实数m的取值范围是__________．解析：由题意知应满足的条件为x2＋x＋m≥0恒成立，只需Δ＝1－4m≤0，解得m≥.答案：[，＋∞)7．若命题p：∀x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，则实数a的取值范围是__________．解析：ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，即不等式ax2＋4x＋a≥－2x2＋1对∀x∈R恒成立，即(a＋2)x2＋4x＋(a－1)≥0恒成立．当a＋2＝0时，不符合题意；故有解得a≥2.答案：[2，＋∞)2三、解答题8．写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)每条直线在y轴上都有一个截距；(2)p：所有的正方形都是菱形；(3)p：至少有一个实数x0，使x＋1＝0；(4)p：与同一平面所成的角相等的两条直线平行．解：(1)否定为：存在直线在y轴上没有截距．(真命题)．因为与y轴平行的直线在y轴上没有截距，所以命题的否定为真命题．(2)是全称命题，¬p：存在一个正方形不是菱形．正方形是特殊的菱形，所以¬p为假命题．(3)是特称命题，¬p：∀x∈R，x3＋1≠0.因为x＝－1时，x3＋1＝0，所以¬p为假命题．(4)是全称命题，省略了全称量词“任意”，即“任意两条与同一平面所成的角相等的直线平行”，¬p：存在两条与同一平面所成的角相等的直线不平行，¬p为真命题．9．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求实数m的取值范围．解：(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m>－4，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立．(2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.所以，所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．3