导数与函数专练·作业(三十四)1．(2015·湖南衡阳联考)已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.(1)若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x＝－是f(x)的极值点，求f(x)在[1，a]上的最大值；(3)在(2)的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)＝bx的图像与函数f(x)的图像恰有3个交点？若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由．解析(1)f′(x)＝3x2－2ax－3. f(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴f′(x)在[1，＋∞)上恒有f′(x)≥0，即3x2－2ax－3≥0在x∈[1，＋∞)上恒成立，则必有≤1，且f′(1)＝－2a≥0，∴a≤0.(2)f′(－)＝0，即＋a－3＝0，∴a＝4.∴f(x)＝x3－4x2－3x.令f′(x)＝3x2－8x－3＝0，解得x1＝－，x2＝3.x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1,3)3(3,4)4f′(x)－0＋f(x)－6↘－18↗－12∴f(x)在[1,4]上的最大值为f(1)＝－6.(3)函数g(x)＝bx的图像与f(x)的图像恰有3个交点，即x3－4x2－3x＝bx恰有3个不等实根，∴方程x3－4x2－3x－bx＝0恰有3个不等实根．其中x＝0是其中一个根，∴方程x2－4x－3－b＝0有两个不等于零的不等实根．∴∴b>－7且b≠－3.2．(2015·四川遂宁诊断)已知函数f(x)＝ex(e＝2.71828…是自然对数的底数)，g(x)＝ln(x＋1)．(1)若F(x)＝f(x)－g(x)，求F(x)的极值；(2)对任意x≥0，证明：f(x)>g(x＋1)；(3)对任意x≥0，都有g(x)≥成立，求实数a的取值范围．解析(1)F(x)＝ex－ln(x＋1)，令F′(x)＝ex－＝0⇒x＝0.当x∈(－1,0)时，F′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，F′(x)>0.所以当x∈(－1,0)时，F(x)单调递减；当x∈(0，＋∞)时，F(x)单调递增．从而当x＝0时，F(x)取得极小值F(0)＝1.(2)证明：令G(x)＝ex－x－1，G′(x)＝ex－1.当x∈(0，＋∞)时，G′(x)>0，所以当x∈(0，＋∞)时，G(x)单调递增，G(x)>G(0)＝0(x>0)．所以ex>x＋1>0，即x>ln(x＋1)，所以x＋1>ln(x＋2)＝g(x＋1)．f(x)＝ex>x＋1>g(x＋1)．当x＝0时，f(0)＝1>ln2＝g(1)，所以f(x)>g(x＋1)．(3)解：令h(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，h′(x)＝ln(x＋1)＋1－a.令h′(x)＝0，解得x＝ea－1－1.当a≤1时，x＝ea－1－1≤0，所以对所有x>0，h′(x)>0，h(x)在[0，＋∞)上是增函数．所以有h(x)>h(0)＝0(x≥0)，即当a≤1时，对任意x≥0，都有g(x)≥.当a>1时，对于01时，不是对任意x≥0都有g(x)≥成立．综上，a的取值范围是(－∞，1]．3．(2015·江西吉安考试)已知函数f(x)＝在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求实数a的值及f(x)的极值；(2)是否存在区间(t，t＋)(t>0)，使函数f(x)在此区间上存在极值点和零点？若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由；(3)如果对任意的x1，x2∈[e2，＋∞)，有|f(x1)－f(x2)|≥k|－|，求实数k的取值范围．解析(1)f′(x)＝＝. f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，∴f′(1)＝＝0.∴a＝1，∴f(x)＝，x>0.f′(x)＝－.当00，当x>1时，f′(x)<0，∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．故f(x)在x＝1处取得极大值1，无极小值．(2) x>1时，f(x)＝>0，当x→0时，y→－∞，由(1)得f(x)在(0,1)上单调递增，由零点存在原理，f(x)在区间(0,1)上存在唯一零点，函数f(x)的图像如图所示． 函数f(x)在区间(t，t＋)(t>0)上存在极值点和零点，∴即解得x2≥e2，则原不等式⇔f(x2)－f(x1)≥k(－)⇔f(x2)－k≥f(x1)－k⇔函数F(x)＝f(x)－在[e2，＋∞)上单调递减．又F(x)＝f(x)－＝－，∴F′(x)＝≤0在[e2，＋∞)上恒成立．∴k≤lnx在[e2，＋∞)上恒成立．在[e2，＋∞)上，(lnx)min＝lne2＝2，∴k≤2.4．(2015·山东青岛检测)已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．解析(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b.因为曲线y＝f(x)与曲线y...
