高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.3.1 双曲线及其标准方程课时作业（含解析）北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-1数学试题VIP免费

课时作业16双曲线及其标准方程时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．已知平面上定点F1，F2及动点M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，则甲是乙的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲⇒乙，只有当0<2a<|F1F2|时，点M的轨迹才是双曲线．2．双曲线－＝1的焦距为(C)A．2B．3C．6D．8解析：已知双曲线的方程为标准方程，可得a2＝6，b2＝3，则c＝＝3，故焦距2c＝6.3．在双曲线的标准方程中，若a＝6，b＝8，则其标准方程是(D)A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1或－＝1解析：因为没有说明双曲线的焦点所在的坐标轴，所以应分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况进行讨论，显然选项D符合要求．4．与圆C1：x2＋(y＋1)2＝1及圆C2：x2＋(y－4)2＝4都外切的动圆的圆心在(C)A．一个圆上B．一个椭圆上C．双曲线的一支上D．一条抛物线上解析：由已知得，圆C1的圆心为(0，－1)，半径r1＝1；圆C2的圆心为(0,4)，半径r2＝2.设动圆的圆心为M，半径为r，则|MC1|＝r＋1，|MC2|＝r＋2，∴|MC2|－|MC1|＝1<|C1C2|＝5，由双曲线的定义可得，动圆的圆心在双曲线的一支上．5．已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝(C)A.B.C.D.解析：依题意：a＝b＝，∴c＝2.因|PF1|＝2|PF2|，则该|PF2|＝m，∴|PF1|＝2m，又|PF1|－|PF2|＝2＝m.∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，又|F1F2|＝4，∴cos∠F1PF2＝＝.故选C.6．已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为C的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，则PF1·PF2等于(C)A．24B．48C．50D．56解析：|PF2|＝|F1F2|＝2c＝6，由双曲线的定义，得|PF1|＝2a＋|PF2|＝4＋6＝10，∴cos∠F1PF2＝＝，故PF1·PF2＝|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2＝10×6×＝50.7．已知平面内有一定线段AB，其长度为4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，O为AB的中点，则|PO|的最小值为(B)1A．1B.C．2D．4解析：如图，以AB为x轴，AB中点O为坐标原点建系． |PA|－|PB|＝3，∴P点轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支．由图知|PO|最短为.8．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则PA1·PF2的最小值为(A)A．－2B．－C．1D．0解析：设点P(x，y)，其中x≥1.依题意得A1(－1,0)，F2(2,0)，则有＝x2－1，y2＝3(x2－1)，PA1·PF2＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2＋3(x2－1)－x－2＝4x2－x－5＝4(x－)2－，其中x≥1.因此，当x＝1时，PA1·PF2取得最小值－2，选A.二、填空题9．已知双曲线的焦点为F1(0，－6)，F2(0,6)，且双曲线上的一点P到F1，F2的距离之差的绝对值等于8，则该双曲线的标准方程为－＝1.解析： 双曲线的焦点在y轴上，∴设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．由题意可知a＝4，c＝6，∴b2＝c2－a2＝62－42＝20.故该双曲线的标准方程为－＝1.10．设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1||PF2|＝32，则△PF1F2的面积为12.解析：设|PF1|＝3x，|PF2|＝2x，则|PF1|－|PF2|＝x＝2，则|PF1|＝6，|PF2|＝4，所以|PF1|2＋|PF2|2＝62＋42＝52＝|F1F2|2，所以∠F1PF2＝90°，所以S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝×6×4＝12.11．已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝4.解析：方法1：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则∴∴mn＝4，即|PF1|·|PF2|＝4.方法2：|PF1|·|PF2|＝＝＝＝4.三、解答题12．求满足下列条件的双曲线的标准方程．(1)焦点为(0，－6)，(0,6)，且经过点(－5,6)；(2)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点(3,2)；(3)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)．解：(1)由已知得c＝6，且焦点在y轴上．因为点(－5,6)在双曲线上，所以点(－5,6)到两焦点的距离之差的绝对值是常数2a，即2a＝|－|＝|13－5|＝8，则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.因此，所求双曲线的标准方程是－＝1.2(2)由焦距是4可得c＝2，又焦点在y轴上，故焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由双曲线的定义知2a＝|－|＝2，即a＝1，所以b2＝c2－a2＝4－1＝3.因此，所求...