第四节直接证明和间接证明A组基础题组1.若a,b,c为实数,且aab>b2C.2.若P=+,Q=+(a≥0),则P,Q的大小关系是()A.P>QB.P=QC.P1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是()A.②③B.①②③C.③D.③④⑤5.若空间中有n(n≥5)个点,满足任意四点都不共面,且任意两点的连线与其余三点确定的平面垂直,则这样的n值()A.不存在B.有无数个C.等于5D.最大值为86.已知a,b,x均为正数,且a>b,则与的大小关系是.7.已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,都存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合:①M=;②M={(x,y)|y=log2x};③M={(x,y)|y=ex-2};④M={(x,y)|y=sinx+1}.其中是“垂直对点集”的序号是.8.已知函数f(x)=ln(1+x),g(x)=a+bx-x2+x3,函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线.(1)求a,b的值;(2)证明:f(x)≤g(x).B组提升题组9.(2016北京,8,5分)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则()A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多10.如果a+b>a+b,则a,b应满足的条件是.11.设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在非零常数T,对于任意x∈D,都有f(x+T)=T·f(x),则称函数y=f(x)是“似周期函数”,非零常数T为函数y=f(x)的“似周期”.现有下面四个关于“似周期函数”的命题:①如果“似周期函数”y=f(x)的“似周期”为-1,那么它是周期为2的周期函数;②函数f(x)=x是“似周期函数”;③函数f(x)=2-x是“似周期函数”;④如果函数f(x)=cosωx是“似周期函数”,那么ω=kπ,k∈Z.其中真命题的序号是(写出所有满足条件的命题的序号).12.(2017北京朝阳期中)已知函数f(x)=-ax+cosx(a∈R),x∈.(1)若函数f(x)是偶函数,试求a的值;(2)当a>0时,求证:函数f(x)在上单调递减.答案精解精析A组基础题组1.Ba2-ab=a(a-b), a0,∴a2>ab.①同理,ab>b2,②由①②得a2>ab>b2.2.A假设P>Q,要证P>Q,只需证P2>Q2,只需证:2a+13+2>2a+13+2,只需证a2+13a+42>a2+13a+40,只需证42>40,因为42>40成立,所以P>Q成立.3.A假设n=k时,原式能被9整除,即k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除,当n=k+1时,原式=(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3,为了能用上面的归纳假设,只需将(k+3)3展开,让其出现k3即可.4.C若a=,b=,则a+b>1,但a<1,b<1,故①推不出;若a=b=1,则a+b=2,但不满足a,b中至少有一个大于1,故②推不出;若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,但a<1,b<1,故④推不出;若a=-2,b=-3,则ab>1,但a<1,b<1,故⑤推不出.对于③,若a+b>2,则“a,b中至少有一个大于1”成立.证明(反证法):假设a≤1且b≤1,则a+b≤2,与a+b>2矛盾,因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1.故选C.5.C当5个点为正四面体的四个顶点和中心时,符合任意四点都不共面,且任意两点的连线与其余三点所确定的平面垂直.假设当n≥6时也满足题意,不妨设其中的6个点为A,B,C,D,E,F,则AB⊥平面CDE,AB⊥平面CDF,又因为平面CDF∩平面CDE=CD,所以平面CDF与平面CDE重合,则C,D,E,F四点共面,与题意相矛盾,所以n=5,故选C.6.答案>解析 -=>0,∴>.7.答案③④解析由题意可得集合M是“垂直对点集”等价于对于过曲线y=f(x)上任意一点与原点的直线,都存在过曲线上另一点与原点的直线与之垂直.①M=,假设集合M是“垂直对点集”,则存在两点,,满足·=-1,化为·=-1,无解,因此假设不成立,即集合M不是“垂直对点集”;②M={(x,y)|y=log2x}(x>0),取(1,0),则不存在(x2,log2x2)(x2>0),满足1×x2+0=0,因此集合M不是“垂直对点集”;③M={(x,y)|y=ex-2},结合图象可知,集合M是“垂直对点集”;④M={(x,y)|y=sinx+1},结合图象可知,集合M是“垂直对点集”.综上可得...
