课时分层作业(十)等比数列前n项和的性质及应用(建议用时:40分钟)一、选择题1.等比数列{an}的前n项和为Sn,且4a1,2a2,a3成等差数列.若a1=1,则S4等于()A.7B.8C.15D.16C[由题意得4a2=4a1+a3,∴4a1q=4a1+a1q2,∴q=2,∴S4==15.]2.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4=1,S3=7,则S5等于()A.B.C.D.B[显然公比q≠1,由题意得解得或∴S5===.]3.设各项都是正数的等比数列{an},Sn为其前n项和,且S10=10,S30=70,那么S40等于()A.150B.-200C.150或-200D.400A[依题意,数列S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比数列,因此有(S20-S10)2=S10(S30-S20).即(S20-10)2=10(70-S20),解得S20=-20或S20=30,又S20>0,因此S20=30,S20-S10=20,S30-S20=40,故S40-S30=80,S40=150.故选A.]4.设数列{xn}满足log2xn+1=1+log2xn(n∈N*),且x1+x2+…+x10=10,记{xn}的前n项和为Sn,则S20等于()A.1025B.1024C.10250D.20240C[ log2xn+1=1+log2xn=log2(2xn),∴xn+1=2xn,且xn>0,∴{xn}为等比数列,且公比q=2,∴S20=S10+q10S10=10+210×10=10250,1故选C.]5.已知公差d≠0的等差数列{an}满足a1=1,且a2,a4-2,a6成等比数列,若正整数m,n满足m-n=10,则am-an=()A.30B.20C.10D.5或40A[设等差数列的公差为d,因为a2,a4-2,a6成等比数列,所以(a4-2)2=a2·a6,即(a1+3d-2)2=(a1+d)·(a1+5d),即(3d-1)2=(1+d)·(1+5d),解得d=0或d=3,因为公差d≠0,所以d=3,所以am-an=a1+(m-1)d-a1-(n-1)d=(m-n)d=10d=30,故选A.]二、填空题6.在数列{an}中,an+1=can(c为非零常数),且前n项和为Sn=3n+k,则实数k=________.-1[由an+1=can知数列{an}为等比数列.又 Sn=3n+k,由等比数列前n项和的特点Sn=Aqn-A知k=-1.]7.等比数列{an}共有2n项,它的全部各项的和是奇数项的和的3倍,则公比q=________.2[设{an}的公比为q,则奇数项也构成等比数列,其公比为q2,首项为a1,S2n=,S奇=.由题意得=.∴1+q=3,∴q=2.]8.设{an}是公差不为零的等差数列,Sn为其前n项和.已知S1,S2,S4成等比数列,且a3=5,则数列{an}的通项公式为an=________.2n-1[设等差数列{an}的公差为d,(d≠0),则S1=5-2d,S2=10-3d,S4=20-2d,因为S=S1·S4,所以(10-3d)2=(5-2d)(20-2d),整理得5d2-10d=0, d≠0,∴d=2,an=a3+(n-3)d=5+2(n-3)=2n-1.]三、解答题9.一个项数为偶数的等比数列,全部项之和为偶数项之和的4倍,前3项之积为64,求该等比数列的通项公式.[解]设数列{an}的首项为a1,公比为q,全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇2S偶,由题意,知S奇+S偶=4S偶,即S奇=3S偶. 数列{an}的项数为偶数,∴q==.又a1·a1q·a1q2=64,∴a·q3=64,得a1=12.故所求通项公式为an=12×.10.在等差数列{an}中,a2=4,a4+a7=15.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=2an-2+n,求b1+b2+b3+…+b10的值.[解](1)设等差数列{an}的公差为d.由已知得解得所以an=a1+(n-1)d=n+2.(2)由(1)可得bn=2n+n,所以b1+b2+b3+…+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(210+10)=(2+22+23+…+210)+(1+2+3+…+10)=+=(211-2)+55=211+53=2101.11.(多选题)已知Sn是公比为q的等比数列{an}的前n项和,若q≠1,m∈N*,则下列说法正确的是()A.=+1B.若=9,则q=2C.若=9,=,则m=3,q=2D.若=9,则q=3ABC[ q≠1,∴==1+qm.而==qm,∴A正确;B中,m=3,∴=q3+1=9,解得q=2.故B正确;C中,由=1+qm=9,得qm=8.又=qm=8=,得m=3,q=2,∴C正确;D中,=q3=9,∴q=≠3,∴D错误,故选ABC.]12.在各项都为正数的数列{an}中,首项a1=2,且点(a,a)在直线x-9y=0上,则数列{an}的前n项和Sn等于()A.3n-1B.C.D.A[由点(a,a)在直线x-9y=0上,得a-9a=0,即(an+3an-1)(an-3an-1)=0,又数列{an}各项均为正数,且a1=2,∴an+3an-1>0,∴an-3an-1=0,即=3,∴数列{an}是首项a1=2,公比q=3的等比...