第2讲解三角形正、余弦定理在平面几何中的应用1.(2015广西南宁二模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=,则B等于(C)(A)(B)(C)(D)解析:由=及正弦定理得=.所以整理得a2+c2-b2=ac,所以cosB==,所以B=.故选C.2.(2015遵义市高三联考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2+bc-a2=0,则的值为(A)(A)(B)-(C)(D)-解析:因为b2+c2+bc-a2=0,所以b2+c2-a2=-bc.所以cosA==-.所以A=.由正弦定理可知,==sinA=.故选A.3.(2015河南六市联考)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinA=,a=2,S△ABC=,则b的值为(A)(A)(B)(C)2(D)2解析:因为S△ABC=bcsinA=×bc×=,所以bc=3.①因为sinA=且A为锐角,所以cosA=.所以由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccosA,即4=b2+c2-2×3×,所以b2+c2=6.②由①②可解得b=c=.故选A.4.(2015赤峰市高三统考)已知a,b,c分别是△ABC三个内角A,B,C所对的边,且满足(2c+b)cosA+acosB=0,若a=4,则△ABC面积的最大值是.解析:由(2c+b)cosA+acosB=0及正弦定理得,(2sinC+sinB)cosA+sinAcosB=0.所以2sinCcosA+sinC=0.又因为sinC≠0,所以cosA=-.又A∈(0,π),所以A=.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,即16=b2+c2-2bc·cos=b2+c2+bc≥3bc.所以bc≤,当且仅当b=c=时,等号成立,所以S△ABC=bcsinA=bc≤×=.答案:三角恒等变换与解三角形的综合5.在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若acosC,bcosB,ccosA成等差数列,则B等于(C)(A)(B)(C)(D)解析:因为acosC,bcosB,ccosA成等差数列,所以acosC+ccosA=2bcosB,根据正弦定理可得sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB,即sin(A+C)=2sinBcosB,又A+B+C=π,所以sinB=2sinBcosB,又sinB≠0,所以cosB=,又B∈(0,π),所以B=,故选C.6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示△ABC的面积,若acosB+bcosA=csinC,S=(b2+c2-a2),则B等于(B)(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°解析:根据正弦定理得sinAcosB+sinBcosA=sin2C,即sin(A+B)=sinC=sin2C,因为sinC≠0,所以sinC=1,即C=90°.由S=(b2+c2-a2),得bcsinA=(b2+c2-a2),即sinA==cosA,即tanA=1,又A∈(0°,180°),所以A=45°,所以B=45°.故选B.7.(2015江西九江二模)在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=60°.(1)若sinC+cosC=cosB,求B和C的大小;(2)若a=,求△ABC周长的取值范围.解:(1)由A=60°,得C=120°-B,代入sinC+cosC=cosB得,sin(120°-B)+cos(120°-B)=cosB.即sinB=cosB,所以tanB=1.又0°a,所以b+c>.所以△ABC周长的取值范围是(2,3].正、余弦定理的实际应用8.(2015吉林模拟)一船向正北航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西45°,另一灯塔在船的南偏西75°,则这艘船的速度是每小时(D)(A)5海里(B)5(-1)海里(C)10海里(D)10(-1)海里解析:如图所示,依题意有∠BAC=45°,∠BAD=75°,所以∠CAD=30°,∠CDA=15°,在△ACD中,由正弦定理得==20,则AC=20sin15°=5(-),在直角三角形ABC中,得AB=ACsin45°=5(-1),于是这艘船的速度是=10(-1)(海里/小时).故选D.9.已知甲船正在大海上航行,当它位于A处时获知,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即以10海里/小时的速度匀速前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西30°,相距10海里C处的乙船,乙船当即也决定匀速前往救援,并且与甲船同时到达.(1)试问乙船航行速度的大小;(2)试问乙船航行的方向(试用方位角表示,结果精确到1°).解:(1)设C与B的距离为x海里,所用时间为=2(小时),则x2=AC2+AB2-2AB·ACcos120°=102+202+2×20×10×=700,所以x=10.v乙==5(海里/小时),所以乙船航行速度为5海里/小时.(2)设∠ACB=θ,则=,=,则sinθ=,得θ≈41°,所以乙船应朝北偏东71°的方向沿直线前往B处救援.一、选择题1.在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2...
