高考数学总复习教程第10讲 等差数列 等比数列VIP专享VIP免费

高考数学总复习教程第10讲等差数列等比数列一、本讲内容本讲进度：数列的概念，分类、表达、两种重要数列：等差数列与等比数列的定义，通项，前n项和、性质等。二、学习指导数列的特点是“有序”，数列的实质是函数——定义域为N*或｛1，2，3…，n｝的函数，故按定义域，数列分为有穷数列与无穷数列；按值域，数列分为有界数列与无界数列；按取值变化情况，分为常数列，单调数列，摆动数列，周期数列。数列的表达式一一顺序列出（也可用图、表）在可能的情况下，还可用通项公式或递推式（须加初始条件）表示，高中阶段接触的大都是后者。等差数列与等比数列是两个基础性的数列，对它们的定义、性质、公式，建议同学们进行对比性地理解和记忆，常数列必为等差数列（公差d=0），非零常数列必同时也是等比数列（公比q=1），反之亦然，对等比数列求和。切记要分为q=1与q≠1两种情况，等比数列的公比q及任意一项均不能为零。任意两个数都有等差中项，而且是唯一的；在实数范围内，同号的两个数才有等比化中项，且为一对相反数，在实数范围内，等比数列的各奇数项符号相同，各偶数项符号相同。要注意可以化为等差，等比数列的转化技巧。三、典型例题讲评例1．是否存在公差不为零的等左数列｛a2｝，使对任意正整数n，为常数？若存在，示出这个数列；若不存在，说明理由。存在性问题，往往先假设它存在，根据题设条件列式，若据此能求出欲求，则“事实胜于雄辩”不仅证明了“存在”，还解决了“是什么”；若据此推得矛盾，则说明假设错误，从而证明了“不存在”。若存在，记首项为a1，公差为d(≠0)，据题设，应有A==要与n无关，应有－2=4(－1)，求得a1=，说明存在。例2．三个实数10a2+81a+207，a+2，26－2a经适当排列，它们的常用对数值构成公差为1的等差数列。求a的值。先扫清外围：证明三个数的常用对数构成公差为1的等差数列，它们本身必构成公比为10的等比数列。再考虑“适当排序”。（10a2+81a+207）－（a+2）=10a2+80a+205=10(a+4)2+45＞0，（10a2+81a+207）－(26－2a)=10a2+83a+181=10(a+)2+＞0，故10a2+81a+207为最大项，又由各项为正数知a∈(－2，13)故10a2+81a+207=10(a+2)=100(26－2a)或10a2+81a+207=10(26－2a)=100(a+2)解出即可。例3．数列｛a2｝的前n项之和为Sn，对任意正整数n，有an+Sn=n，数列｛bn｝中，b1=a1，bn+1=an+1－an，求｛bn｝前n项之和Pn及通项bn。用心爱心专心123号编辑1an与Sn间的关系要牢记：an=由此我们不难得出a1=,an+1=an+至此，我们要把它与等比数列挂钩，有两种选择：（1）两边同减1：an+1－1=(an－1)（此处1可用待定系数法确定），从而说明｛an—1｝，（此外1可用待定系数法确定），从而说明｛an－1｝构成以－，且an=an－1+，两式相减，得an+1－an=(an－an－1)，说明了差数列构成公比为的等比数列。例4．已右曲线xy－2kx+k2=0与x－y+8=0有且只有一个为共点，数列｛an｝中，a1=2k，n≥2时，｛an－1，an｝均在曲线xy－2kx+k2=0上，数列｛bn｝中，bn=.（1）求证：｛bn｝是等差数列；（2）求an先由方程组解唯一，求出k与a1，再由逆推式an－1an－2kan－1+k=0推及｛bn｝成等差，进而求出an，在对an－1an－4an－1+4=0变化时，应把目标紧紧盯在an－2，an－1－2上。例5．已知递增的等比数列｛an｝前三项之积为512，它们分别减去1，3，9后，又构成等差数列，则+++…+＜1.先由题设条件求出an，而++…+可看作等差数列，1，2，…，n……与等比数列，，…，，…对应项相来得到的新数列，要求它的前n项之和，一般把和式两边同来以公比q（或），错位相减（目的是列出“等比数列求和”）从而求出这个和。例6．某企业在年初创办时投入资金1000万元，年资金增长率为50%，但每年年终要扣除消费基金x万元，其余校入再生产，要想经过5年扣除其金后的资金达到2000万元，消费基金x最多为多少万元（精确到万元）？写出递推式，并把递推式改造为等比数列是这一类问题的通常解法，如本题中，第一年底记为a1，则a1=1000×1.5－x，an+1=1.5an－x，进而写为an+1－2x=1.5(an－2x)四、巩固练习1．数列｛an｝中，a1=3，对一切正整数n，关于x的方程anx2－2an+1x+1=0的两实数α、β都是满足...