【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第2章几个重要的不等式学业分层测评12数学归纳法北师大版选修4-5(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．某个与正整数n有关的命题，如果当n＝k(k∈N＋，且k≥1)时命题成立，则一定可推得当n＝k＋1时，该命题也成立．现已知n＝5时，该命题不成立，那么应有()A．当n＝4时该命题成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝6时该命题不成立【解析】当n＝4时命题成立，由递推关系知，n＝5时命题成立，与题中条件矛盾．所以n＝4时，该命题不成立．【答案】C2．已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝2an－1＋1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的一个表达式是()A．n2－1B．(n－1)2＋1C．2n－1D．2n－1＋1【解析】由a1＝1，当n≥2时，an＝2an－1＋1得a2＝2a1＋1＝2×1＋1＝3，a3＝2a2＋1＝2×3＋1＝7，a4＝2a3＋1＝2×7＋1＝15.猜想an＝2n－1.【答案】C3．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N＋)能被9整除”，要利用归纳法假设证n＝k＋1时的情况，只需展开()A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3【解析】假设n＝k时，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3，且展开式中除k3以外的各项和也能被3整除．【答案】A4．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋()A.B．πC．2πD．π【解析】n＝k到n＝k＋1时，内角和增加π.【答案】B5．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是()A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确(其中k∈N＋)B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确(其中k∈N＋)1C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确(其中k∈N＋)D．假设n≤k(k≥1)时正确，再推n＝k＋2时正确(其中k∈N＋)【解析】 n为正奇数，∴n＝2k－1(k∈N＋)．即假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确．【答案】B二、填空题6．探索表达式A＝(n－1)(n－1)！＋(n－2)(n－2)！＋…＋2·2！＋1·1！(n>1且n∈N＋)的结果时，第一步n＝__________时，A＝__________.【解析】第一步n＝2时，A＝(2－1)(2－1)！＝1.【答案】217．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到__________.【导学号：94910037】【解析】 n＝k时，命题为“1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1”，∴n＝k＋1时为使用归纳假设，应写成1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k，又考虑到目的，最终应为2k＋1－1.【答案】1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－18．在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an.通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式是________．【解析】a2＝S2－S1＝2(2×2－1)a2－，∴a2＝，同理a3＝，a4＝.归纳知an＝.【答案】an＝三、解答题9．证明：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N＋)．【证明】(1)当n＝1时，左边12－22＝－3，右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立．(2)假设n＝k时，等式成立，就是12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时等式也成立．综合(1)(2)可知，等式对任何n∈N＋都成立．10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn，an的等差中项为1.(1)写出a1，a2，a3；(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明．【解】(1)由题意Sn＋an＝2，可得a1＝1，a2＝，a3＝.(2)猜想an＝.下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，a1＝1，＝＝1，等式成立．②假设当n＝k时，等式成立，即ak＝，则当n＝k＋1时，由Sk＋1＋ak＋1＝2，Sk＋ak＝2，2得(Sk＋1－Sk)＋ak＋1－ak＝0，即2ak＋1＝ak，所以ak＋1＝ak＝·＝，即当n＝k＋1时，等式成立．由①②可知，对n∈N＋，an＝.能力提升](1)(2)(3)图2311．如图231所示的是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图的化学键个数为()A．6n个B...
