竞赛讲座25－绝对值与二次根式1．绝对值例1（1986年扬州初一竞赛题）设T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|，其中0＜p＜15.对于满足p≤x≤15的x的来说，T的最小值是多少？解由已知条件可得T=（x-p）+（15-x）+（p+15-x）=30-x. 当p≤x≤15时，上式中在x取最大值时T最小；当x=15时，T=30-15=15，故T的最小值是15.例2若两数绝对值之和等于绝对值之积，且这两数都不等于0.试证这两个数都不在-1与-之间.证设两数为a、b，则|a|+|b|=|a||b|.∴|b|=|a||b|-|a|=|a|（|b|-1）. ab≠0，∴|a|＞0，|b|＞0.∴|b|-1=＞0，∴|b|＞1.同理可证|a|＞1.∴a、b都不在-1与1之间.例3设a、b是实数，证明|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.证明当|a|-|b|≤0时，|a|-|b|≤|a+b|成立.当|a|-|b|＞0时，由于（|a|-|b|）2-|a+b|2=（a2+b2-2|ab|）-（a2+b2+2ab）=-2（|ab|-ab）≤0，∴|a|-|b|≤|a+b|.同理可证|a+b|≤|a|+|b|.2．根式在根式进行化简、求值和证明的过程中，常采用配方法、乘方法、比较系数法、设参法、公式法等等，现举例如下：（1）配方法：将二次根号内的式子配成完全平方式，将三次根号下的式子配成完全立方式.例4(1981年宁波初中竞赛题)设的整数部分为x,小数部分为y,试求的值.解=4-=2+(2-),故x=2,y=2-,∴x+y+=4-+2+=6.例5化简解原式==|x+3|+|x-1|-|x-2|.令x+3=0，x-1=0，x-2=0.得x=-3，x=1，x=2，这些点把数轴划分成四个部分：当x＜-3时原式=-（x+3）-（x-1）+（x-2）=-x-4；当-3≤x＜1时，原式=（x+3）-（x-1）+（x-2）=x+2；当1≤x≤2时，原式=（x+3）+（x-1）+（x-2）=3x；当x＞2时，原式=（x+3）+（x-1）-（x-2）=x+4.说明：将根号下含字母的式子化为带绝对值的式子来讨论，是解这类问题的一般技巧.例6化简（a＞＞0）.解原式=== a＞＞0.∴a2＞2b2，∴原式=例7求证：证明： =∴原式=4.(2)乘方法:由于乘方与开方互为逆运算,顺理成章地可以用乘方的方法去根号例8已知求证:(x+y+z)3=27xyz.证明: ∴两边立方x+y+即再边再立方得（x+y+z）3=27xyz.例9已知求证证明设则即同理可设则∴A+B===由A+B=a，得∴（2）比较系数法例10求满足条件的自然数a、x、y.解将等式两边平方得 x、y、a都是自然数.∴只能是无理数，否则与等式左边是无理数相矛盾.∴x+y=a，xy=6.由条件可知x＞y且x、y是自然数.当x=6时，y=1，得a=7.当x=3时，y=2，得a=5.故x=6,y=1,a=7.或x=3,y=2,a=5.例11化简分析被开方式展开后得13+2,含有三个不同的根式,且系数都是2,可看成是将平方得来的.解设=,两边平方得13+2=x+y+z+2比较系数,得①②③④由②有，代入③，得代入④，得y2=52，∴y=5（x、y、z非负），∴=1，∴原式=1+（4）设参法例12（1986年数理化接力赛题）设（a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn都是正数）.求证:=证明设且a1=b1k,a2=b2k,…，an=bnk.左边==右边=·=∴左边=右边（5）公式法、代数变换及其他例13已知x=求x3+12x的值.解由公式（a-b）3=a3-b3-3ab（a-b）可得·=8-3=8-12x.∴x3+12x=8.例14设求x4+y4+（x+y）4.解由条件知∴x+y=5，xy=1.∴原式=(x2+y2)2-2x2y2+(x+y)4=[(x+y)2-2xy]2-2x2y2+(x+y)4=(25-2)2-2+54=1152.例15(1978年罗马尼亚竞赛题)对于a∈R，确定的所有可能的值.解记y=.①先假定a≥0，这时y≥0，把①两边平方得②即③再平方，整理后得④从而≥0.由②知y2＜2a2+2-2=2.再由⑤知y2≤1，∴0≤y＜1.反过来,对于[0,1]中的每一个y值,由⑤可以定出a，并且这时2a2+2-y2＞0，故可由⑤逆推出②和①，因而在a≥0时，的值域为（0，1）.同样在a＜0时，的值域为（-1，0），综上的值域是（-1，1）.练习十七1．选择题（1）若实数x满足方程|1-x|=1+|x|，那么等于（）.（A）x-1（B）1-x（C）±（x-1）（D）1（E）-1（2）方程x|x|-5|x|+6=0的最大根和最小根的积为（）.（A）-6（B）3（C）-3（D）6（E）-18（3）已知最简根式与是同类根式，则满足条件的a、b的值（）.（A）不存在（B）有一组（C）有二组（D）多于二组2．空题（1）已知|x-8y|+（4y-1）2+则x+y+z=_________.（2）若a＞b＞c＞0，l1=乘积中最小的一个是__________.（3）已知0＜x＜1，化简（4）已知则（5）（北京市1989年高一数学竞赛题）设x是实数，且f（x）=|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5...
