高中数学 第六章 推理与证明 6.3 数学归纳法基础达标 湘教版选修2-2-湘教版高二选修2-2数学试题VIP专享VIP免费

6．3数学归纳法1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步验证n＝()．A．1B．2C．3D．0解析因为是证明凸n边形，首先可先构成n边形，故选C.答案C2．满足1·2＋2·3＋3·4＋…＋n(n＋1)＝3n2－3n＋2的自然数等于()．A．1B．1或2C．1,2,3D．1,2,3,4解析用排除法，将4,3依次代入，所以选C.答案C3．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是()．A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确D．假使n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N＋)解析因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第k＋1个正奇数即n＝2k＋1正确．答案B4．用数学归纳法证明≥n(a，b是非负实数，n∈N＋)时，假设n＝k命题成立之后，证明n＝k＋1命题也成立的关键是________________．解析要想办法出现ak＋1＋bk＋1，两边同乘以，右边也出现了要证的k＋1.答案两边同乘以5．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋，且k≥1)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N*，等式都成立．上述证明的错误是____________．答案未用归纳假设6．平面内有n(n∈N＋，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：交点的个数f(n)＝.证明(1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个，又f(2)＝×2×(2－1)＝1，∴当n＝2时，命题成立．(2)假设n＝k，∈N＋，且(k>2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个数f(k)＝k(k－1)，那么，当n＝k＋1时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线交点个数为f(k)＝k(k－1)，l与其他k条直线交点个数为k，从而k＋1条直线共有f(k)＋k个交点，即f(k＋1)＝f(k)＋k＝k(k－1)＋k＝k(k－1＋2)＝k(k＋1)＝(k＋1)[(k＋1)－1]，1这表明，当n＝k＋1时，命题成立．由(1)、(2)可知，对n∈N＋(n≥2)命题都成立．7．在数列{an}中，an＝1－＋－＋…＋－则ak＋1＝()．A．ak＋B．ak＋－C．ak＋D．ak＋－解析a1＝1－，a2＝1－＋－，…，an＝1－＋－＋…＋－，ak＝1－＋－＋…＋－，所以，ak＋1＝ak＋－.答案D8．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3，(n∈N＋)能被9整除”，要利用归纳法假设证n＝k＋1时的情况，只需展开()．A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3解析假设n＝k时，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3.＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．故应选A.答案A9．观察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2,1＋＋＋…＋>，…，由此猜测第n个不等式为________(n∈N＋)．解析3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜测：1＋＋＋…＋>.答案1＋＋＋…＋>10．楼梯共有n级，每步只能跨上1级或2级，走完该n级楼梯共有f(n)种不同的走法，则f(n)，f(n－1)，f(n－2)的关系为________．答案f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)11．用数学归纳法证明对n∈N＋都有＋＋＋…＋＝.证明①当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，左边＝右边．∴n＝1时，等式成立．②假设＋＋…＋＝，则n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋＝＝＝＝＝.∴n＝k＋1时，等式成立．由①②知＋＋…＋＝.12．(创新拓展)已知，n∈N＋，An＝2n2，Bn＝3n，试比较An与Bn的大小，并加以证明．解当n＝1时：A1＝2，B1＝3，有A12k2＋2k2＋2k2.由于2k2≥4k(k≥2)，2k2>2，所以3k＋1>2k2＋2k2＋2k2>2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2，这表明，当n＝k＋1时，不等式也成立．综合(1)、(2)可知，n∈N＋，n≥2时，都有An