高中数学 第三章 不等式 3.2 均值不等式自我小测 新人教B版必修5-新人教B版高二必修5数学试题VIP专享VIP免费

3.2均值不等式自我小测1．函数f(x)＝x＋＋3在(－∞，－2]上()A．无最大值，有最小值7B．无最大值，有最小值－1C．有最大值7，有最小值－1D．有最大值－1，无最小值2．设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为()A．8B．4C．1D．3．点P(x，y)是直线x＋3y－2＝0上的动点，则代数式3x＋27y有()A．最大值8B．最小值8C．最小值6D．最大值64．若a，b，c＞0，且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，则2a＋b＋c的最小值为()A．－1B．＋1C．2＋2D．2－25．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0．则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为()A．0B．C．2D．6．一批救灾物资随26辆汽车从某市以v千米/时的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400千米，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于2千米，那么这批物资全部到达7．设a≥0，b≥0，且a2＋＝1，则a的最大值为________．8．已知直线x＋y＝1经过第一象限内的点P，则a＋4b的最小值是________．9．某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，其使用规定：不记名，每卡每次只限一人，每天只限一次．某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元．(1)若使每个同学游8次，每人最少应交多少元钱？(2)若使每个同学游4次，每人最少应交多少元钱？10．用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图所示)，设容器高为h米，盖子边长为a米．(1)求a关于h的解析式；(2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？并求出V的最大值．(求解本题时，不计容器厚度)1参考答案1．解析：∵x≤－2，∴f(x)＝x＋＋3＝－＋3≤－2＋3＝－1，当且仅当－x＝－，即x＝－2时，等号成立．∴f(x)有最大值－1，无最小值，故选D．答案：D2．解析：是3a与3b的等比中项3a·3b＝33a＋b＝3a＋b＝1．∵a>0，b>0，∴≤＝ab≤．∴＋＝＝≥＝4．当且仅当a＝b＝时，等号成立．答案：B3．解析：∵点P(x，y)在直线x＋3y－2＝0上，∴x＋3y＝2．∴3x＋27y＝3x＋33y≥2＝2＝2＝6．当且仅当x＝3y，即x＝1，y＝时，等号成立．∴代数式3x＋27y有最小值6．答案：C4．解析：因为a，b，c＞0，且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，所以a2＋ab＋ac＋bc＝4－2，所以4－2＝a2＋ab＋ac＋bc＝(4a2＋4ab＋4ac＋2bc＋2bc)≤(4a2＋4ab＋4ac＋2bc＋b2＋c2)．当且仅当b＝c时，等号成立．所以(2－2)2≤(2a＋b＋c)2，则2a＋b＋c≥2－2．答案：D5．解析：由x2－3xy＋4y2－z＝0得x2＋4y2－3xy＝z，＝－3≥－3＝－3＝1，当且仅当x2＝4y2即x＝2y时，有最小值1，将x＝2y代入原式得z＝2y2，所以x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝－2y2＋4y，当y＝1时有最大值2．故选C．答案：C6．解析：从第一辆车出发到最后一辆车到达目的地共需要的时间y＝＋＝＋≥2＝10．当且仅当v＝80时，等号成立．答案：107．解析：由a2＋＝1，知2a2＋b2＝2，即2a2＋(1＋b2)＝3．因为2a2＋(1＋b2)≥2，所以a≤＝．当且仅当2a2＝1＋b2，即a＝，b＝时，等号成立．答案：8．答案：99．解：(1)设每批去x名同学，共需去批，总开支又分为：①买卡所需费用240x，②包车所需费用×40．∴y＝240x＋×40(0＜x≤48，x∈Z)．∴y＝240≥240×2＝3840，当且仅当x＝，即x＝8时，等号成立．故每人最少应交＝80(元)．2)设每批去x名同学，共需去批，总开支又分为：①买卡所需费用240x，②包车所需费用×40．∴y＝240x＋×40(0＜x≤48，x∈Z)．2∴y＝240≥240×2≈2715，当且仅当x＝，即x≈5．66时，等号成立．但0＜x≤48，x∈Z，当x1＝5时，y1＝240×＝2736；当x2＝6时y2＝240×＝2720．∵y1＞y2，∴当x＝6时，y有最小值，即ymin＝2720．故每人最少应交≈56．67(元)．10．解：(1)设h′是正四棱锥的斜高，由题设，得消去h′，解得a＝(a＞0)．(2)由V＝a2h＝(h＞0)，得V＝．而h＋≥2＝2．所以V≤，当且仅当h＝，即h＝1时，等号成立．故当h＝1米时，V有最大值，V的最大值为立方米．3