等差数列前n项和的综合应用(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.等差数列前n项和为Sn，若a3＝4，S3＝9，则S5－a5＝()A.14B.19C.28D.60【解析】在等差数列{an}中，a3＝4，S3＝3a2＝9，∴a2＝3，S5－a5＝a1＋a2＋a3＋a4＝2(a2＋a3)＝2×7＝14.【答案】A2.等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2＋a4＋a15的值为确定的常数，则下列各数中也是常数的是()A.S7B.S8C.S13D.S15【解析】a2＋a4＋a15＝a1＋d＋a1＋3d＋a1＋14d＝3(a1＋6d)＝3a7＝3×＝×＝S13.于是可知S13是常数.【答案】C3.已知等差数列的前n项和为Sn，若S13<0，S12>0，则此数列中绝对值最小的项为()A.第5项B.第6项C.第7项D.第8项【解析】由得所以故|a6|>|a7|.【答案】C4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于()【导学号：18082091】A.63B.45C.36D.27【解析】∵a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.【答案】B5.若数列{an}的前n项和Sn＝3n－2n2(n∈N＋)，则当n≥2时，下列不等式成立的是()A.Sn＞na1＞nanB.Sn＞nan＞na1C.na1＞Sn＞nanD.nan＞Sn＞na1【解析】由an＝解得an＝所以an＝5－4n，所以na1＝n，nan＝5n－4n2.因为na1－Sn＝n－(3n－2n2)＝2n2－2n＝2n(n－1)＞0，Sn－nan＝3n－2n2－(5n－4n2)＝2n2－2n＞0，所以na1＞Sn＞nan.【答案】C二、填空题6.已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝6，S5＝15，则Sn＝________.1【导学号：18082092】【解析】法一：由得解得a1＝1，d＝1，∴Sn＝n×1＋×1＝n2＋n.法二：设Sn＝An2＋Bn，∵S3＝6，S5＝15∴即解得A＝，B＝，∴Sn＝n2＋n.【答案】n2＋n7.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5
0，∴a1>a2>a3>a4>a5>a6＝0，a7<0.故当n＝5或6时，Sn最大.【答案】5或6三、解答题9.已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？【解】(1)由a1＝9，a4＋a7＝0，得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.(2)法一：a1＝9，d＝－2，Sn＝9n＋·(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25，∴当n＝5时，Sn取得最大值.法二：由(1)知a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是递减数列.令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤.∵n∈N＋，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0.∴当n＝5时，Sn取得最大值.10.若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.【导学号：18082093】【解】∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.当n≤4时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋d＝13n＋×(－4)＝15n－2n2；当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn＝2×－(15n－2n2)2＝2n2－15n＋56.∴Tn＝[能力提升]1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝()A.12B.14C.16D.18【解析】Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，由Sn＝＝210，得n＝14.【答案】B2.若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N＋)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为()A.6B.7C.8D.9【解析】因为an＋1－an＝－3，所以数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.设前k项和最大，则有所以所以≤k≤.因为k∈N＋，所以k＝7.故满足条件的n的值为7.【答案】B3.设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________.【解析】设等差数列{an}的项数为2n＋1，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝＝(n＋1)an＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝nan＋1，所以＝＝，解得n＝3，所以项数2n＋1＝7，S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11为所求中间项.【答案】1174.已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}为等差数列，a1＝12，d＝－2.(1)求Sn，并画出{Sn}(1≤n≤13)的图象；(2)分别求{Sn}单调递增、单调递减的n的取值范围，并求{Sn}的最大(或最小)的项；(3){Sn}有多少项大于零？【解】(1)Sn＝na1＋d＝12n＋×(－2)＝－n2＋13n.图象如图.(2)Sn＝－n2＋13n＝－＋，n∈N＋，∴当n＝6或7时，Sn最大；当1≤n≤6时，{Sn}单调递增；当n≥7时，{Sn}单调递减.{Sn}有最大值，最大项是S6，S7，S6＝S7＝42.(3)由图象得{Sn}中有12项大于零.3
