三角形中的几何计算VIP免费

第2课时三角形中的几何计算课后强化作业一、选择题1.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的（）A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东10°D.南偏西10°［答案］B［解析］如图，由题意知∠ACB=180°-40°-60°＝80°， AC=BC,∴∠ABC=50°,∴α=60°-50°=10°.2.甲船在B岛的正南A处，AB=10km，甲船以4km/h的速度向正北航行，同时，乙船自B岛出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是()A.1507minB.157hC.21.5minD.2.15h［答案］A［解析］如图，设经过x小时时距离为s，则在△BPQ中，由余弦定理知：PQ2=BP2+BQ2-2BP·BQ·cos120°，即s2=(10-4x)2+(6x)2-2(10-4x)×6x×(-12)=28x2-20x+100.当x=-b2a=514时，s2最小，此时x=514h=1507min.3.如图所示，B、C、D三点在地面同一直线上，DC=a，从C、D两点测得A点的仰角分别为β、α（α＜β)，则A点离地面的高AB等于（）A.asinαsinβsin(β−α)B.asinαsinβcos(β−α)C.asinαcosβsin(β−α)D.acosαcosβcos(β−α)［答案］A［解析］由tanα=ABa+CB,tanβ=ABCB，联立解得AB＝asinαsinβsin(β−α).4.一质点受到平面上的三个力⃗F1、⃗F2、⃗F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知⃗F1、⃗F2成60°角，且⃗F1、⃗F2的大小分别为2和4，则⃗F3的大小为()A.6B.2C.2√5D.2√7［答案］D［解析］由题意，得⃗F1+⃗F2+⃗F3＝0，∴⃗F1＋⃗F2、⃗F3＝-⃗F3,(∴⃗F1+⃗F2)2=⃗F32,∴⃗F12+⃗F22+2⃗F1·⃗F2·＝⃗F32，4+16+2×2×4×cos60°∴＝⃗F32，∴⃗F32＝28，|∴⃗F3|=2√7.故选D.5.一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时（）A.5海里B.5√3海里C.10海里D.10√3海里［答案］C［解析］如图，依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°，∴∠CAD=∠CDA=15°，从而CD=CA=10，在Rt△ABC中，求得AB=5，∴这艘船的速度是50.5=10(海里/小时).6.江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距（）A.10√3米B.100√3米C.20√3米D.30米［答案］D［解析］设炮台顶部为A，两条船分别为B,C,炮台底部为D，可知∠BAD=45°，∠CAD=60°，∠BDC=30°，AD=30.分别在Rt△ADB,Rt△ADC中，求得BD=30,DC=30√3.在△DBC中，由余弦定理得BC2=DB2+DC2-2DB·DCcos30°，解得BC=30.7.如图，在一幢20m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，底部的俯角为45°，那么这座塔吊的高是（）A.20（1+√33）mB.20（1+√3）mC.10（√6+√2）mD.20（√6+√2）m［答案］B［解析］由仰角与俯角的意义可知，∠DAE=60°，∠EAC＝45°，又EC＝20m,∴BC=AE=20m,在△AED中，DE=AEtan60°＝20√3m.∴塔吊的高度是20（1+√3）m.8.如下图所示，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为（）A.17√62海里/小时B.34√6海里/小时C.17√22海里/小时D.34√2海里/小时［答案］A［解析］由题意知PM=68，∠MPN=120°，∠N=45°,由正弦定理知PMsin45°=MNsin120°⇒MN=68×√32×√2=34√6,∴速度为34√64=17√62（海里/小时）.二、填空题9.一角槽的横断面如图所示，四边形ABED是矩形，已知∠DAC=50°，∠CBE=70°，AC=90，BC=150，则DE=.［答案］210［解析］由题意知∠ACB=120°，在△ACB中，由余弦定理，得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=902+1502-2×90×150×（-12）＝44100.∴AB=210,DE=210.10.在静水中划船的速度是每分钟40m，水流的速度是每分钟20m，如果船从岸边A处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为.［答案］30°［解析］水流速度与船速的合速度为v,方向指向河岸，如图由题意可知sin...