2.1.2由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质一、选择题1．方程x2＋(x2＋y2－1)2＝0所确定的曲线是()A．y轴或圆B．两点(0,1)与(0，－1)C．y轴或直线y＝±1D．以上都不正确[答案]B[解析]x2＋(x2＋y2－1)2＝0，即x＝0且x2＋y2－1＝0，表示两点(0,1)与(0，－1)．2．已知点M(－2,0)、N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是()A．x2＋y2＝4(x≠±2)B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝16D．x2＋y2＝16(x≠±4)[答案]A[解析]由直角三角形斜边中线等于斜边一半知|PO|＝2，即x2＋y2＝4，但M、N、P不能共线，故P点轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)，故答案为A.3．到A(2，－3)和B(4，－1)的距离相等的点的轨迹方程是()A．x－y－1＝0B．x－y＋1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋1＝0[答案]C[解析]设点的坐标为(x，y)，根据题意有＝化简得x＋y－1＝0.4．方程y＝表示的曲线是()[答案]B[解析]y＝＝，故选B.5．已知A(－1,0)、B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是()A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0[答案]B[解析]|AB|＝5，∴C到AB的距离d＝＝4，设C(x，y)、AB所在的直线为4x－3y＋4＝0，∴4＝，∴|4x－3y＋4|＝20，∴4x－3y＋4＝20或4x－3y＋4＝－20故4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0，故选B.6．方程(x＋1)·(y－1)＝1(x≠0)表示的曲线关于____对称()A．直线y＝xB．直线y＝x＋2C．直线y＝－xD．(－1，－1)中心[答案]B[解析]曲线(x＋1)(y－1)＝1，即y－1＝可看作曲线y＝沿x轴向左平移1个单位，沿y轴向上平移1个单位得到的，而y＝关于y＝x对称，故曲线y－1＝关于直线y＝x＋2对称．二、填空题7．已知l1是过原点O且与向量a＝(2，－λ)垂直的直线，l2是过定点A(0,2)且与向量b＝(－1，)平行的直线，则l1与l2的交点P的轨迹方程是________，轨迹是________________．[答案]x2＋(y－1)2＝1(y≠0)以(0,1)为圆心，1为半径的圆(不包括原点)[解析]由题意，l1可为过原点除x轴的任意直线，l2可为过A(0,2)除y轴的任意直线，由平面几何性质知，向量a，b共线，方向相反，l1与a垂直，l2与b平行，则l1与l2相互垂直，交点P的轨迹是以(0,1)为圆心，OA为直径的圆周除去原点O的部分．8．已知两直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交点为P(2,3)，则过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直线方程是____________．[答案]2x＋3y＋1＝0[解析]P(2,3)在a1x＋b1y＋1＝0上，代入得2a1＋3b1＋1＝0，同理2a2＋3b2＋1＝0.故(a1，b1)，(a2，b2)都在直线2x＋3y＋1＝0上，两点确定一条直线，故过Q1，Q2两点的直线方程为2x＋3y＋1＝0.三、解答题9．求(x－1)2＋(y－1)2＝1关于直线x＋y＝0的对称曲线的方程．[解析]设所求对称曲线上任一点的坐标为(x，y)，它关于x＋y＝0的对称点为(x1，y1)，根据对称定义知：解得， (x1，y1)在(x－1)2＋(y－1)2＝1上∴(x1－1)2＋(y1－1)2＝1，∴有(－y－1)2＋(－x－1)2＝1，即(x＋1)2＋(y＋1)2＝1.一、选择题1．下面所给图形的方程是图中的曲线方程的是()[答案]D[解析]A不是，因为x2＋y2＝1表示以原点为圆心，半径为1的圆，以方程的解为坐标的点不都是曲线上的点，如(，－)的坐标适合方程x2＋y2＝1，但不在所给曲线上；B不是，理由同上，如点(－1,1)适合x2－y2＝0，但不在所给曲线上；C不是，因为曲线上的点的坐标都不是方程的解，如(－1,1)在所给曲线上，但不适合方程lgx＋lgy＝1.2．平行四边形ABCD的顶点A，C的坐标分别为(3，－1)，(2，－3)，顶点D在直线3x－y＋1＝0上移动，则顶点B的轨迹方程为()A．3x－y－20＝0(x≠13)B．3x－y－10＝0(x≠13)C．3x－y－12＝0(x≠13)D．3x－y－9＝0(x≠13)[答案]A[解析]设AC、BD交于点O， A、C分别为(3，－1)(2，－3)，∴O为(，－2)，设B为(x，y)，∴D为(5－x，－4－y)． D在3x－y＋1＝0上，∴15－3x＋4＋y＋1＝0，由于A、B、C、D不共线则应除去与直线AC的交点(13,19)，故所求轨迹方程为3x－y－20＝0(x≠13)．3．设动点P是抛物线y＝2x2＋1上任意一点，点A(0，－1)，点M使得PM＝2MA，则M的轨迹方程是()A．y＝6x2－B．y＝3x2＋C．y＝－3x2－1D．x＝6y2－[答案]A[解析]设...
