4.3.3三次函数的性质：单调区间和极值1．三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的图象如下图，则它的导数f′(x)\的图象最可能是()．答案C2．函数f(x)＝x3－3x＋3，当x∈时，函数f(x)的最小值是()．A.B．－5C．1D.答案C3．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴相切于(1,0)点，则f(x)的极值为()．A．极大值为，极小值为0B．极大值为0，极小值为－C．极小值为－，极大值为0D．极小值为0，极大值为答案A4．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________.答案325．若函数f(x)＝x3＋ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是________．解析∵f(x)＝x3＋ax∴f′(x)＝3x2＋a，由题意，得Δ＝02－4×3×a>0，∴a<0.答案a<06．已知函数f(x)＝x3－ax－11(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；(3)证明f(x)＝x3－ax－1的图象不可能总在直线y＝a的上方．(1)解f′(x)＝3x2－a，由3x2－a≥0在R上恒成立，即a≤3x2在R上恒成立，易知当a≤0时，f(x)＝x3－ax－1在R上是增函数，∴a≤0.(2)解由3x2－a<0在(－1,1)上恒成立，∴a>3x2.但当x∈(－1,1)时，0<3x2<3，∴a≥3，即当a≥3时，f(x)在(－1,1)上单调递减．(3)证明取x＝－1，得f(－1)＝a－2
0；当－11时，y′>0.所以y＝x3－3x在(－∞，－1)上递增，(－1,1)上递减，(1，＋∞)上递增．当x＝－1时，y取得极大值(－1)3－3×(－1)＝2；当x＝1时，y取得极小值13－3×1＝－2.因此，a的取值范围为－2m，则实数m的取值范围为________．解析f′(x)＝3x2－x－2，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－.f(－1)＝，f＝，f(1)＝，f(2)＝7，∴f(x)的最小值为，∴m<.答案10．函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围为________．解析f′(x)＝3x2－3a2(a>0)，由f′(x)>0，得x>a或x<－a，由f′(x)<0，得－a0；当x＝a时，f(x)取得极小值f(a)＝－2a3＋a<0.又a>0，∴a>.2答案11．(2011·重庆)设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝－对称，且f′(1)＝0.①求实数a，b的值；②求函数f(x)的极值．解①∵f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1，∴f′(x)＝6x2＋2ax＋b.由题意知，－＝－且6×12＋2a×1＋b＝0，∴a＝3，b＝－12.②由①知，f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1.∴f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－2.由f′(x)>0，得x>1或x<－2，由f′(x)<0，得－20，则由f′(x)>0得x<－t或x>，f′(x)<0得－t0得x<或x>－t，由f′(x)<0得
