课时提升作业(十七)抛物线方程及性质的应用(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.抛物线y=x2的焦点关于直线x-y-1=0的对称点的坐标是()A.(2,-1)B.(1,-1)C.D.【解析】选A.y=x2⇒x2=4y,焦点为(0,1),其关于x-y-1=0的对称点为(2,-1).2.(2015·全国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心为坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,点A,B是C的准线与E的两个交点,则=()A.3B.6C.9D.12【解析】选B.设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),右焦点为(c,0),依题意得解得a=4,由b2=a2-c2=16-4=12,所以椭圆E的方程为+=1,因为抛物线C:y2=8x的准线为x=-2,将x=-2代入到+=1,解得A(-2,3),B(-2,-3),故=6.3.已知抛物线C:x2=y,过点A(0,-1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.∪C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-)∪(,+∞)【解析】选D.显然t≠0,直线AB的方程为y=x-1,代入抛物线方程得2tx2-4x+t=0.由题意Δ=16-8t2<0,解得t<-或t>.1【补偿训练】设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线与抛物线有公共点,则直线斜率的取值范围是()A.B.[-2,2]C.[-1,1]D.[-4,4]【解析】选C.准线x=-2,Q(-2,0),设y=k(x+2),由得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0,当k=0时,x=0,即交点为(0,0),当k≠0时,Δ≥0,-1≤k<0或00)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n,则()A.n=0B.n=1C.n=2D.n≥3【解题指南】借助抛物线及正三角形的对称性求解本题,注意数形结合.【解析】选C.根据抛物线的对称性,正三角形的两个顶点一定关于x轴对称,且过焦点的两条直线倾斜角分别为30°和150°,如图,所以正三角形的个数n=2.2二、填空题(每小题5分,共15分)6.沿直线y=-2发出的光线经抛物线y2=ax反射后,与x轴相交于点A(2,0),则抛物线的准线方程为(抛物线的光学性质:从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行).【解析】由直线y=-2平行于抛物线的对称轴知A(2,0)为焦点,故准线方程为x=-2.答案:x=-27.直线y=x-1被抛物线y2=4x截得线段的中点坐标是.【解析】设直线y=x-1与抛物线y2=4x交于A(x1,y1),B(x2,y2),其中点为P(x0,y0),由题意得消去y,整理得(x-1)2=4x,即x2-6x+1=0.所以x0==3,y0=x0-1=2.所以P(3,2).答案:(3,2)【一题多解】=4x2,=4x1,-=4x2-4x1,=4.所以y1+y2=4,即y0=2,因此x0=y0+1=3.故中点为P(3,2).答案:(3,2)8.(2015·吉林高二检测)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A,与抛物线的一个交点为B,若=,则p=.【解析】由题知准线l为x=-(p>0),过点M且斜率为的直线为y=(x-1),则A,设B(x,0),由=可知M为AB的中点,又M(1,0),所以3即代入y2=2px可知,p2+4p-12=0,即p=2或p=-6(舍去).答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A.(1)求实数b的值.(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.【解题指南】利用直线l与抛物线C相切,联立方程,由Δ=0求实数b的值;由直线与圆相切求圆的方程.【解析】(1)由得x2-4x-4b=0.(*)因为直线l与抛物线C相切,所以Δ=(-4)2-4×(-4b)=0.解得b=-1.(2)由(1)可知b=-1,故方程(*)为x2-4x+4=0.解得x=2,代入x2=4y,得y=1,故点A(2,1).因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆A的半径r就等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离,即r=|1-(-1)|=2,所以圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.10.(2015·济南高二检测)如图,已知点P(-3,0),点Q在x轴上,点A在y轴上,且·=0,=2.当点A在y轴上移动时,求动点M的轨迹方程.4【解题指南】设出点M的坐标,利用·=0,=2,求动点M的轨迹方程.【解析】设动点M(x,y),A(0,b),Q(a,0),因为P(-3,0),所以=(3,b),=(a,-b),=(x-a,y),因为·=0,所以(3,b)·(a,-b)=0,即3a-b2=0.①因为=2,所以(x-a,y)=2(a,-b),即x=3a,y=-2b.②由①②得y...
