高中数学 第4章 导数及其应用 4.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值应用案巩固提升 湘教版选修2-2-湘教版高二选修2-2数学试题VIP专享VIP免费

4.3.3三次函数的性质：单调区间和极值[A基础达标]1．函数f(x)＝x(1－x2)在[0，1]上的最大值为()A.B.C.D.解析：选A.令f′(x)＝1－3x2＝0，得x＝∈[0，1]，所以f(x)max＝f()＝.2．函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3，0]上的最大值和最小值分别是()A．1，－1B．1，－17C．3，－17D．9，－19解析：选C.f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝±1.又f(－3)＝－27＋9＋1＝－17，f(0)＝1，f(－1)＝－1＋3＋1＝3，1∉[－3，0]，所以最大值为3，最小值为－17.3．函数f(x)＝－x3＋x2＋2x取极小值时，x的值是()A．2B．2，－1C．－1D．－3解析：选C.f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x－2)(x＋1)．因为在x＝－1的附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，所以x＝－1时取极小值．4．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值是()A．－37B．－29C．－5D．以上都不对解析：选A.因为f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，所以f(x)在(－2，0)上为增函数，在(0，2)上为减函数，所以当x＝0时，f(0)＝m最大，所以m＝3.因为f(－2)＝－37，f(2)＝－5，所以最小值为－37.5．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围为()A．0≤a＜1B．0＜a＜1C．－1＜a＜1D．0＜a＜解析：选B.因为f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0，可得a＝x2，所以x＝±，又因为x∈(0，1)，所以0<<1，即0＜a＜1，故选B.6．函数f(x)＝x3－6x2－15x＋2的极大值是________，极小值是________．解析：f′(x)＝3x2－12x－15＝3(x－5)(x＋1)，在(－∞，－1)，(5，＋∞)上f′(x)>0，在(－1，5)上f′(x)<0，所以f(x)极大值＝f(－1)＝10，f(x)极小值＝f(5)＝－98.1答案：10－987.若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为[－1，2]，则b＝________，c＝________．解析：因为y′＝3x2＋2bx＋c，由题意知[－1，2]是不等式3x2＋2bx＋c<0的解集，所以－1，2是方程3x2＋2bx＋c＝0的根，由根与系数的关系得b＝－，c＝－6.答案：－－68．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值等于13，则实数m等于________．解析：y′＝－3x2＋12x，由y′＝0，得x＝0或x＝4，容易得出当x＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m＝13，解得m＝－19.答案：－199．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋2，x＝2是f(x)的一个极值点，求：(1)实数a的值；(2)f(x)在区间[－1，3]上的最大值和最小值．解：(1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，f(x)在x＝2处有极值，所以f′(2)＝0，即3×4＋4a＝0，所以a＝－3.(2)由(1)知a＝－3，所以f(x)＝x3－3x2＋2，f′(x)＝3x2－6x.令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2.当x变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－1(－1，0)0(0，2)2(2，3)3f′(x)＋0－0＋f(x)－22－22从上表可知f(x)在区间[－1，3]上的最大值是2，最小值是－2.10．指出函数f(x)＝x3－12x的单调区间和极值点，并求其极值．解：函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：X(－∞，－2)－2(－2，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值f(－2)＝16极小值f(2)＝－16所以f(x)的单调增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)，单调减区间为(－2，2)．x＝－2是函数的极大值点，极大值为f(－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16；x＝2是函数的极小值点，极小值为f(2)＝23－12×2＝－16.[B能力提升]11．已知函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，则a、b的值为()A．a＝3，b＝－3或a＝－4，b＝11B．a＝－4，b＝112C．a＝－1，b＝5D．以上都不正确解析：选B.f′(x)＝3x2－2ax－b，因为在x＝1处f(x)有极值，所以f′(1)＝0，即3－2a－b＝0.①又f(1)＝1－a－b＋a2＝10，即a2－a－b－9＝0.②由①②得a2＋a－12＝0，所以a＝3或a＝－4.所以(舍去)或12．设函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1在区间(0，4)上单调递减，则k的取值范围是________．解析：f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x，因为函数f(x)在(0，4)上单调递减，所以f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x≤0对x∈(0，4)恒成立．所以kx＋2(k－1)≤0对x∈(0，4)恒成立，即k≤对x∈(0，4)恒成立．而∈，所以k≤.答案：13．已知a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值...