第二章几个重要的不等式滚动训练四一、选择题1．设a，b∈R＋且a＋b＝16，则＋的最小值是()A.B.C.D.答案A解析(a＋b)≥2＝4，∴＋≥.当且仅当·＝·，即a＝b＝8时取等号．2．若A＝x＋x＋…＋x，B＝x1x2＋x2x3＋…＋xn－1xn＋xnx1，其中x1，x2，…，xn都是正数，则A与B的大小关系为()A．A＞BB．A＜BC．A≥BD．A≤B答案C解析依数列{xn}的各项都是正数，不妨设0＜x1≤x2≤…≤xn，则x2，x3，…，xn，x1为数列{xn}的一个排列．依排序原理，得x1x1＋x2x2＋…＋xnxn≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1，即x＋x＋…＋x≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1.3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n＋1＝2n＋2－1(n∈N＋)的过程中，在验证n＝1时，左端计算所得的项为()A．1B．1＋2C．1＋2＋22D．1＋2＋22＋23答案C解析当n＝1时，左端＝1＋2＋22，故选C.4．已知x，y，z，a，b，c，k均为正数，且x2＋y2＋z2＝10，a2＋b2＋c2＝90，ax＋by＋cz＝30，a＋b＋c＝k(x＋y＋z)，则k等于()A.B.C．9D．31答案D解析因为x2＋y2＋z2＝10，a2＋b2＋c2＝90，ax＋by＋cz＝30，所以(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)＝(ax＋by＋cz)2，又(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2，当且仅当＝＝＝k时，等号成立，则a＝kx，b＝ky，c＝kz，代入a2＋b2＋c2＝90，得k2(x2＋y2＋z2)＝90，于是k＝3，故选D.5．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋＜(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1不等式左边()A．增加了一项B．增加了两项，C．增加了B中两项但减少了一项D．以上各种情况均不对答案C解析 n＝k时，左边＝＋＋…＋，n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＋＋，∴增加了两项，，少了一项.6．函数y＝5＋的最大值是()A．6B．2C．5D．2答案D解析函数的定义域为[1,3]，且y＞0.由柯西不等式可得y＝5＋＝5＋×≤＝2，当且仅当＝，即x＝时，函数取得最大值2，故选D.7．若2x＋3y＋5z＝29，则函数μ＝＋＋的最大值为()A.B．2C．2D.答案C解析由柯西不等式可得(·1＋·1＋·1)2≤(2x＋1＋3y＋4＋5z＋6)(12＋12＋12)， 2x＋3y＋5z＝29，∴(·1＋·1＋·1)2≤120，2∴μ＝＋＋≤2，∴μ＝＋＋的最大值为2.故选C.二、填空题8．已知a，b，c都是正数，且2a＋b＋c＝6，则a2＋ab＋ac＋bc的最大值为________．答案9解析 a，b，c都是正数，∴a2＋ab＋ac＋bc＝(a＋b)(a＋c)≤2. 2a＋b＋c＝6，∴a2＋ab＋ac＋bc≤9，∴a2＋ab＋ac＋bc的最大值为9.9．已知两组数1,2,3和45,25,30，若c1，c2，c3是45,25,30的一个排列，则c1＋2c2＋3c3的最大值是________，最小值是________．答案220180解析由排序不等式知顺序和最大，逆序和最小，故所求最大值为1×25＋2×30＋3×45＝220，最小值为1×45＋2×30＋3×25＝180.10．已知实数x，y，z满足2x＋y＋3z＝32，则的最小值为________．答案解析 12＋22＋32＝14，由柯西不等式可得(22＋12＋32)[(x－1)2＋(y＋2)2＋z2]≥(2x－2＋y＋2＋3z)2＝322，∴≥，当且仅当＝＝时，等号成立，即的最小值是.11．已知a，b，c都是正数，a＋2b＋3c＝9，则＋＋的最小值为________．答案解析 (a＋2b＋3c)＝[()2＋()2＋()2]·≥2＝1，当且仅当a＝3b＝9c时取等号，又a＋2b＋3c＝9，∴＋＋≥，即最小值为.三、解答题12．设函数y＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为M.(1)求实数M的值；(2)若不等式＋≤M(其中a＞0)恒成立，求实数a的取值范围．解(1)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以M＝3.3(2)因为(＋·)2≤[12＋()2](a－x＋2＋x)＝3(a＋2)，当且仅当＝·时，等号成立，即当x＝∈[－2，a]时，＋取得最大值，所以≤3.又a＞0，所以0＜a≤1.13．已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－2|.(1)求不等式f(x)≥x－1的解集；(2)若f(x)的最大值是m，且a，b，c均为正数，a＋b＋c＝m，求＋＋的最小值．解(1)由已知可得或或解得0≤x≤2.故不等式的解集为[0,2]．(2)f(x)＝得最大值，∴m＝f(1)＝2，∴a＋b＋c＝2.又(a＋b＋c)＝[()2＋()2＋()2]·≥(a＋b＋c)2，∴＋＋≥a＋b＋c＝2，当且仅当a＝b＝c时取等号，故＋＋的最小值是2.14．已知数列{an}和{bn}，其中an＝1＋3＋5＋…＋(2n＋1)，bn＝1＋2＋…＋2n－1，当n∈N＋时，试比较an与bn的大小，并证明你的结论．解由已知得an＝·(n＋1)＝(n＋1)...
