3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式1.cos24°cos36°-cos66°cos54°的值等于(B)(A)0(B)(C)(D)-解析:cos24°cos36°-cos66°cos54°=sin66°cos36°-cos66°sin36°=sin(66°-36°)=sin30°=,故选B.2.设角θ的终边经过点(3,-4),则cos(θ+)等于(C)(A)(B)-(C)(D)-解析:由三角函数的定义,得sinθ==-,cosθ==,所以cos(θ+)=cosθcos-sinθsin=×-(-)×=.故选C.3.已知锐角α,β满足cosα=,cos(α+β)=-,则cosβ等于(B)1(A)(B)(C)-(D)-解析:因为锐角α,β满足cosα=,cos(α+β)=-,所以sinα==,sin(α+β)==,所以cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-×+×=,故选B.4.已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tanβ=-,则2α-β等于(C)(A)-(B)(C)-(D)解析:tanα=tan[(α-β)+β]==,tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]==1,因为α∈(0,π)且tanα=<,所以α∈(0,),同理β∈(,π),所以2α-β∈(-π,-),所以2α-β=-π,选C.25.若函数f(x)=(1+tanx)cosx,0≤x<,则f(x)的最大值为(B)(A)1(B)2(C)+1(D)+2解析:f(x)=cosx+sinx=2(sinx+cosx)=2sin(x+),因为0≤x<,所以≤x+<,所以当x+=,即x=时,f(x)取得最大值2,故选B.6.在△ABC中,有00,即cos(A+B)>0,所以cosC<0,所以C为钝角,所以tanC<0.故选B.7.设α,β为钝角,且sinα=,cosβ=-,则α+β的值为(C)(A)(B)(C)(D)或解析:因为α,β为钝角,所以由sinα=,3得cosα=-=-=-.由cosβ=-,得sinβ===,所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=(-)×(-)-×=.又因为π<α+β<2π,所以α+β=.8.已知函数f(x)=sinx-cosx,x∈R,若f(x)≥1,则x的取值范围为(B)(A)(B)(C)(D)解析:f(x)=2sin(x-),因为f(x)≥1,所以2sin(x-)≥1,即sin(x-)≥,由图象可知需满足+2kπ≤x-≤+2kπ(k∈Z),解得+2kπ≤x≤π+2kπ(k∈Z).故选B.9.函数f(x)=2cosx+sinx的最大值为.解析:f(x)=2cosx+sinx=sin(x+)≤.答案:410.tan20°+tan40°+tan20°tan40°=.解析:因为=tan60°=tan(20°+40°)=,所以-tan20°tan40°=tan20°+tan40°,所以tan20°+tan40°+tan20°tan40°=.答案:11.函数y=sinx+cosx(x∈[0,])的单调递增区间是.解析:化简可得y=sinxcos+cosxsin=sin(x+),由2kπ-≤x+≤2kπ+,k∈Z可得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z,由x∈[0,]可得函数的单调递增区间为[0,].答案:[0,]12.=.解析:=-=-.答案:-13.已知sin(α+β)=,sin(α-β)=,求的值.解:因为sin(α+β)=,所以sinαcosβ+cosαsinβ=.①因为sin(α-β)=,5所以sinαcosβ-cosαsinβ=.②由①,②解得sinαcosβ=,cosαsinβ=,所以===5.14.已知α+β=,且α,β满足(tanαtanβ+a)+2tanα+3tanβ=0,则tanα等于(D)(A)(1-a)(B)(1+a)(C)(1-a)(D)(1+a)解析:因为(tanαtanβ+a)+2tanα+3tanβ=0,所以tanαtanβ+3(tanα+tanβ)=tanα-a,①因为tan(α+β)==,所以3(tanα+tanβ)=(1-tanαtanβ),②把②代入①得=tanα-a,所以tanα=+a=(1+a).故选D.15.已知tanα和tan(-α)是方程ax2+bx+c=0的两个根,则a,b,c的关系是(A)(A)c=b+a(B)2b=a+c(C)b=a+c(D)c=ab解析:由题意得6所以tan=tan[(-α)+α]==1,所以-=1-,所以-b=a-c,所以c=a+b.故选A.16.已知点A(4,1),将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB,设C(1,0),∠COB=α,则tanα=.解析:由题意,设直线OA的倾斜角为θ,则tanθ==,α=θ+,tanα=tan(θ+)==.答案:17.已知α,β都是锐角,cosα=,cos(α+β)=-,则tanα=,cosβ=.解析:α是锐角,cosα=,所以sinα=,所以tanα=4,因为0<α+β<π,cos(α+β)=-,所以sin(α+β)=,7所以cosβ=cos(α+β-α)=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-×+×=.答案:418.(1)证明α+β=45°时,(1+tanα)(1+tanβ)=2;(2)求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)…(1+tan44°)的值.(1)证明:(1+tanα)(1+tanβ)=1+(tanα+tanβ)+tanαtanβ=1+tan(α+β)(1-tanαtanβ)+tanαtanβ,因为α+β=45°,所以上式=1+(1-tanαtanβ)+tanαtanβ=2.(2)解:由(1)知(1+tan1°)(1+tan44°)=2,(1+tan2°)(1+tan43°)=2,…(1+tan22°)(1+tan23°)=2,所以原式==222.19.已知sin(α-)=,sin(β-)=,且α-∈(0,),β-∈(0,),求的值.解:因为α-∈(0,),β-∈(0,),所以0<<π,cos(α-)=,Cos(β-)=,因为cos=cos[(α-)+(β-)]=cos(α-)cos(β-)-Sin(α-)sin(β-)=×-×8=.所以=.20.是否存在锐角α和β,使(1)α+2β=π;(2)tantanβ=2-同时成立?若存在,求出α和β的值;若不存在,请说明理由.解:存在.α+2β=π,则+β=,所以tan(+β)==.又因为tantanβ=2-,所以tan+tanβ=3-,所以tan,tanβ是一元二次方程x2-(3-)x+2-=0的两根,所以x1=1,x2=2-.因为若tan=1,由于α是锐角,即0<<,故这是不可能的,所以tan=2-,tanβ=1.因为0<β<,所以β=,α=-2β=,9所以存在这样的锐角α=,β=.10
