高中数学 课时跟踪检测（八）导数的四则运算法则 北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学试题VIP专享VIP免费

课时跟踪检测（八）导数的四则运算法则一、基本能力达标1．若f′(x)＝f(x)，且f(x)≠0，则f(x)＝()A．axB．logaxC．exD．e－x答案：C2．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为()A．y＝3x－4B．y＝－3x＋2C．y＝－4x＋3D．y＝4x－5解析：选B∵点(1，－1)在曲线y＝x3－3x2＋1上，该点处切线的斜率为k＝y′＝(3x2－6x)＝3－6＝－3，∴切线方程为y＋1＝－3(x－1)，即y＝－3x＋2.3．若过函数f(x)＝lnx＋ax上的点P的切线与直线2x－y＝0平行，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2]B．(－∞，2)C．(2，＋∞)D．(0，＋∞)解析：选B设过点P(x0，y0)的切线与直线2x－y＝0平行，因为f′(x)＝＋a，故f′(x0)＝＋a＝2，得a＝2－，由题意知x0>0，所以a＝2－<2.4．若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)＞0的解集为()A．(0，＋∞)B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1,0)解析：选C∵f(x)＝x2－2x－4lnx，∴f′(x)＝2x－2－＞0，整理得＞0，解得－1＜x＜0或x＞2，又∵f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴x＞2.5．函数y＝x的导数为________．解析：y＝x＝x3＋1＋，y′＝3x2－.答案：3x2－6．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx(e为自然对数的底数)，则f′(e)＝________.解析：由f(x)＝2xf′(e)＋lnx，得f′(x)＝2f′(e)＋，则f′(e)＝2f′(e)＋⇒f′(e)＝－.答案：－7．求下列函数的导数：(1)y＝(＋1)；(2)y＝xtanx；(3)y＝x－sincos；(4)y＝3lnx＋ax(a>0，且a≠1)．解：(1)∵y＝·－＋－1＝－＋，∴y′＝′＝－＋＝－.1(2)y′＝(xtanx)′＝′＝＝＝.(3)y′＝′＝′＝1－cosx.(4)y′＝(3lnx＋ax)′＝＋axlna.8．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0.(1)求a，b的值；(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线l：y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)∵f(x)＝x3＋ax＋b的导数f′(x)＝3x2＋a，由题意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6，解得a＝1，b＝－16.(2)∵切线与直线y＝－x＋3垂直，∴切线的斜率k＝4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x＋1＝4，∴x0＝±1.由f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14，或y0＝－1－1－16＝－18.则切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即y＝4x－18或y＝4x－14.二、综合能力提升1．已知曲线y1＝2－与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝________.解析：由题知y1′＝，y2′＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处切线的斜率分别为，3x－2x0＋2，所以＝3，所以x0＝1.答案：12．已知函数f(x)＝ex－mx＋1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y＝x垂直的切线，则实数m的取值范围是________．解析：∵f(x)＝ex－mx＋1，∴f′(x)＝ex－m，∵曲线C存在与直线y＝x垂直的切线，∴f′(x)＝ex－m＝－2成立，∴m＝2＋ex>2，故实数m的取值范围是(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)3．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求f(x)的解析式．解：∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，∴切点为(1，－1)．2∴a＋c＋1＝－1.∵f′(1)＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1.∴a＝，c＝－.∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x4－x2＋1.4．设fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1，x≥0，n∈N，n≥2，求fn′(2)．解：由题设fn′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1.所以fn′(2)＝1＋2×2＋…＋(n－1)2n－2＋n·2n－1，①则2fn′(2)＝2＋2×22＋…＋(n－1)2n－1＋n·2n,②①－②得，－fn′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝－n·2n＝(1－n)·2n－1，所以fn′(2)＝(n－1)·2n＋1.3