核心素养测评五十二抛物线(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2020·丹东模拟)经过抛物线y2=12x的焦点F,作圆(x-1)2+(y-2)2=8的切线l,则l的方程为()A.x+y-3=0B.x+y-3=0或x=3C.x-y-3=0D.x-y-3=0或x=3【解析】选C.抛物线y2=12x的焦点F(3,0),圆的圆心为(1,2),圆的半径为2,设切线l的方程为x=my+3,则(1,2)到切线l的距离d==2,解得m=1.所以切线l的方程为x-y-3=0.2.已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,点P为抛物线上一点,且在第一象限,PA⊥l,垂足为A,|PF|=3,则直线AF的斜率为()A.B.-C.D.-【解析】选B.如图,抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),由|PF|=3,得|PA|=3,则xP=2,代入y2=4x,得yP=2.所以A(-1,2),所以kAF==-.3.(多选)(2020·青岛模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l的斜率为且经过点F,直线l与抛物线C交于点A,B两点(点A在第一象限)、与抛物线的准线交于点D,若|AF|=4,则以下结论正确的是()A.p=2B.F为AD中点C.|BD|=2|BF|D.|BF|=2【解析】选ABC.如图,F,直线l的斜率为,则直线方程为y=,联立得12x2-20px+3p2=0.解得:xA=p,xB=p,由|AF|=p+=2p=4,得p=2.所以抛物线方程为y2=4x.xB=p=,则|BF|=+1=;|BD|====,所以|BD|=2|BF|,|BD|+|BF|=+=4,则F为AD中点.所以结论正确的是A,B,C.4.(2020·上饶模拟)已知点F是抛物线x2=4y的焦点,点P为抛物线上的任意一点,M(1,2)为平面上一点,则|PM|+|PF|的最小值为()A.3B.2C.4D.2【解析】选A.抛物线标准方程为x2=4y,即p=2,故焦点F(0,1),准线方程y=-1,过P作PA垂直于准线,垂足为A,过M作MA0垂直于准线,垂足为A0,交抛物线于P0,则|PM|+|PF|=|PA|+|PM|≥|A0M|=3(当且仅当P与P0重合时取等号).5.从抛物线y2=4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,若|PM|=4,设抛物线的焦点为F,则直线PF的斜率为()A.B.C.D.2【解析】选C.设P(x0,y0),依题意可知抛物线准线x=-1,所以x0=4-1=3,所以y0=2,所以P(3,2),F(1,0).所以直线PF的斜率为k==.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知点P(-3,3),过点M(3,0)作直线,与抛物线y2=4x相交于A,B两点,设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,则k1+k2=________.【解析】设过点M的直线为x=my+3,联立抛物线方程可得y2-4my-12=0,设A,B,可得y1+y2=4m,y1y2=-12,则k1+k2=+=+=+=+=-1.答案:-17.抛物线C:y2=2x的焦点坐标是________,经过点P(4,1)的直线l与抛物线C相交于A,B两点,且点P恰为AB的中点,F为抛物线的焦点,则||+||=________.【解析】由抛物线C:y2=2x,得2p=2,p=1,则=,所以抛物线的焦点F.过A作AM⊥准线,BN⊥准线,PK⊥准线,M、N、K分别为垂足,则由抛物线的定义可得|AM|+|BN|=|AF|+|BF|.再根据P为线段AB的中点,有(|AM|+|BN|)=|PK|=,所以|AF|+|BF|=9,答案:98.(2020·保定模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)经过点M(1,2),直线l与抛物线交于相异两点A,B,若△MAB的内切圆圆心为(1,t),则直线l的斜率为________.【解析】将点M(1,2)代入y2=2px,可得p=2,所以抛物线方程为y2=4x,由题意知,直线l斜率存在且不为0,设直线l的方程为x=my+n(m≠0),代入y2=4x,得y2-4my-4n=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4n,又由△MAB的内切圆圆心为(1,t),可得kMA+kMB=+=+=0,整理得y1+y2+4=4m+4=0,解得m=-1,从而l的方程为y=-x+n,所以直线l的斜率为-1.答案:-1三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知抛物线y2=2x与直线l:x=ty+2相交于A,B两点,点O是坐标原点.(1)求证:OA⊥OB.(2)当△OAB的面积等于2时,求t的值.【解析】(1)由整理得y2-2ty-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2t,y1y2=-4.所以·=x1x2+y1y2=y1y2+=(-4)+=0,所以⊥,即OA⊥OB.(2)设l:x=ty+2与x轴交于点E,则E(2,0),所以|OE|=2,S△OAB=·|OE|(|y1|+|y2|)=|y1-y2|==2,解得t=±.10.(2020·淄博模拟)已知圆O:x2+y2=4,抛物线C:x2=2py(p>0).(1)若抛物线C的焦点F在圆O上,且A为抛物线C和圆O的一个交点,求|AF|.(2)若直线l与抛物线C和圆O分别相切于M,N两点,设M(x0,y0),当y0∈[3,4]时,求|MN|的最小值.【解析】(1)依题意F在圆x2+y2=4上,所以0+=4,解得p=4,所以抛物线C的方程为:x2=8y,联立消去x得y2+8y-4=0,解得y=-4+2(负值舍去),所以|AF|=y-=-4+2+2=2-2.(2)依题意设切线l的方程为y-y0=(x-x0),得py-py0=x0x-,又因为=2py0,所以x0x-py-py0=0,由|ON|=2,得|py0|...
