2.3函数的奇偶性与周期性A组基础题组1.下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是()A.y=√1+x2B.y=x+1xC.y=2x+12xD.y=x+ex答案D易知y=√1+x2与y=2x+12x是偶函数,y=x+1x是奇函数,故选D.2.偶函数y=f(x)在区间[0,4]上单调递减,则有()A.f(-1)>f(π3)>f(-π)B.f(π3)>f(-1)>f(-π)C.f(-π)>f(-1)>f(π3)D.f(-1)>f(-π)>f(π3)答案A由题意得0<1<π3<π<4⇒f(-1)=f(1)>f(π3)>f(π)=f(-π),故选A.3.设函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sinx.当0≤x<π时,f(x)=0,则f(23π6)=()A.12B.√32C.0D.-12答案A f(x+2π)=f(x+π)+sin(x+π)=f(x)+sinx-sinx=f(x),∴f(x)的周期T=2π,又 当0≤x<π时,f(x)=0,∴f(5π6)=0,即f(-π6+π)=f(-π6)+sin(-π6)=0,∴f(-π6)=12,∴f(23π6)=f(4π-π6)=f(-π6)=12.故选A.4.已知f(x),g(x),h(x)为R上的函数,其中函数f(x)为奇函数,函数g(x)为偶函数,则()A.函数h(g(x))为偶函数B.函数h(f(x))为奇函数C.函数g(h(x))为偶函数D.函数f(h(x))为奇函数1答案A设F(x)=h(g(x)),因为g(x)为偶函数,所以g(-x)=g(x),即F(-x)=h(g(-x))=h(g(x))=F(x),所以函数h(g(x))是偶函数,故选A.5.设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=log2(x+2)-3x+a(a∈R),则f(-2)=()A.-1B.-5C.1D.5答案D因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,即a=-1.故f(x)=log2(x+2)-3x-1(x≥0),所以f(-2)=-f(2)=5.6.已知函数f(x)=x3+cos(π2-x)+1,若f(a)=2,则f(-a)的值为()A.3B.0C.-1D.-2答案B 函数f(x)=x3+cos(π2-x)+1,∴f(x)=x3+sinx+1, f(a)=2,∴f(a)=a3+sina+1=2,∴a3+sina=1,∴f(-a)=(-a)3+sin(-a)+1=-1+1=0.故选B.7.已知函数f(x)={cos(x+α)(x≥0),sin(x+β)(x<0)是偶函数,则α,β的可能取值是()A.α=π,β=π2B.α=β=π3C.α=π3,β=π6D.α=π4,β=3π4答案C因为函数f(x)={cos(x+α)(x≥0),sin(x+β)(x<0)是偶函数,所以当x<0时,cos(-x+α)=sin(x+β),利用两角和差公式展开并整理,得sinx(sinα-cosβ)+cosx(cosα-sinβ)=0对x<0恒成立,因而{sinα-cosβ=0,cosα-sinβ=0,将两式两边平方后相加可得,2-2(sinαcosβ+cosαsinβ)=0,因而sin(α+β)=1,故α+β=2kπ+π2,k∈Z,故选C.8.设函数f(x)=lg(1+|2x|)-11+x4,则使f(3x-2)0时,f(x)=lg(1+2x)-11+x4,函数f(x)单调递增,根据偶函数的性质可知,f(3x-2)0,a,x=0,g(2x),x<0为奇函数,则a=,f(g(-2))=.答案0;-25解析由题意,知a=f(0)=0.设x<0,则-x>0,f(-x)=x2-2x+1=-f(x),∴g(2x)=-x2+2x-1,∴g(-2)=-4,∴f(g(-2))=f(-4)=-16-8-1=-25.11.(2019汤溪中学月考)下列函数中,既是偶函数又是区间(0,+∞)上的增函数的有.(填写所有符合条件的序号)①y=x3;②y=|x|+1;③y=x32;④y={lnx(x>0),ln(-x)(x<0).答案②④解析①令f(x)=x3, f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),∴y=f(x)=x3为奇函数;②令f(x)=|x|+1, f(x)=|x|+1=|-x|+1=f(-x),∴y=f(x)=|x|+1为偶函数,当x>0时,y=|x|+1=x+1,∴函数在(0,+∞)上单调递增;3③由函数y=x32的定义域为[0,+∞),可知此函数为非奇非偶函数;④y={lnx(x>0),ln(-x)(x<0),即y=ln|x|(x≠0),则易知此函数为偶函数,又当x>0时,y=lnx,∴函数在(0,+∞)上单调递增.综上可得符合要求的有②④.12.设函数f(x)=ln(1+|x|)-11+x2,则使得f(x)>f(3x-1)成立的x的取值范围是.答案(14,12)解析f(x)=ln(1+|x|)-11+x2,定义域为R, f(-x)=f(x),∴函数f(x)为偶函数,当x>0时,f(x)=ln(1+x)-11+x2单调递增,又f(x)>f(3x-1),∴|x|>|3x-1|,∴x2>(3x-1)2,∴x的取值范围是(14,12).13.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2,若对任意x∈[a,a+2],不等式f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,则实数a的取值范...
