第十五篇坐标系与参数方程(选修44)第1节坐标系【选题明细表】知识点、方法题号极坐标与直角坐标的互化1直线和圆的极坐标方程及应用2简单曲线的极坐标方程及应用3,41.在极坐标系下,已知圆O:ρ=cosθ+sinθ和直线l:ρsin=.(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;(2)当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O公共点的极坐标.解:(1)圆O:ρ=cosθ+sinθ,即ρ2=ρcosθ+ρsinθ,圆O的直角坐标方程为x2+y2=x+y,即x2+y2-x-y=0.直线l:ρsin=,即ρsinθ-ρcosθ=1,则直线l的直角坐标方程为y-x=1,即x-y+1=0.(2)由得故直线l与圆O公共点的极坐标为.2.在极坐标系中,曲线L:ρsin2θ=2cosθ,过点A(5,α)(α为锐角且tanα=)作平行于θ=(ρ∈R)的直线l,且l与曲线L分别交于B,C两点.(1)以极点为原点,极轴为x轴的正半轴,取与极坐标系相同的单位长度,建立平面直角坐标系,写出曲线L和直线l的直角坐标方程.(2)求|BC|的长.解:(1)由题意得,点A的直角坐标为(4,3),由曲线L的极坐标方程ρsin2θ=2cosθ,得ρ2sin2θ=2ρcosθ,所以L的直角坐标方程为y2=2x.由于直线l的斜率为1,且过点A(4,3),故直线l的直角坐标方程为y-3=x-4,即y=x-1.(2)设B(x1,y1),C(x2,y2),由消去y,得x2-4x+1=0,由一元二次方程的根与系数的关系得x1+x2=4,x1x2=1,由弦长公式得|BC|==2.3.在极坐标系中,圆C是以点C(2,-)为圆心,2为半径的圆.(1)求圆C的极坐标方程.(2)求圆C被直线l:θ=-(ρ∈R)所截得的弦长.解:法一(1)设所求圆上任意一点M(ρ,θ),如图,在Rt△OAM中,∠OMA=90°,∠AOM=2π-θ-,|OA|=4.因为cos∠AOM=,所以|OM|=|OA|·cos∠AOM,即ρ=4cos(2π-θ-)=4cos(θ+),验证可知,极点O与A(4,-)的极坐标也满足方程,故ρ=4cos(θ+)为所求.(2)设l:θ=-(ρ∈R)交圆C于点P,在Rt△OAP中,∠OPA=90°,易得∠AOP=,所以|OP|=|OA|cos∠AOP=2.法二(1)圆C是将圆ρ=4cosθ绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆,所以圆C的极坐标方程是ρ=4cos(θ+).(2)将θ=-代入圆C的极坐标方程ρ=4cos(θ+),得ρ=2,所以圆C被直线l:θ=-(ρ∈R)所截得的弦长为2.4.已知曲线C1的极坐标方程为ρcos(θ-)=-1,曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos(θ-).以极点为坐标原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系.(1)求曲线C2的直角坐标方程.(2)求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值.解:(1)依题意得ρ=2cos(θ-)=2(cosθ+sinθ),即ρ2=2(ρcosθ+ρsinθ),可得x2+y2-2x-2y=0,故C2的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=2.(2)曲线C1的极坐标方程为ρcos(θ-)=-1,即ρ(cosθ+sinθ)=-1,化为直角坐标方程为x+y+2=0,由(1)知曲线C2是以(1,1)为圆心,为半径的圆,且圆心到直线C1的距离d==>r=,于是直线与圆相离,所以动点M到曲线C1的距离的最大值为.
