课时分层作业(十九)从力做的功到向量的数量积(建议用时：40分钟)一、选择题1．下面给出的关系式中正确的个数是()①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.A．1B．2C．3D．4C[①②③正确，④错误，⑤错误，(a·b)2＝(|a|·|b|cosθ)2＝a2·b2cos2θ≠a2·b2，选C.]2．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于()A．1B．2C．3D．5A[|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4，∴a·b＝1.]3．已知a，b方向相反，且|a|＝3，|b|＝7，则|2a－b|＝()A．1B．13C．2D．3B[∵|2a－b|2＝(2a－b)2＝4a2－4a·b＋b2＝4×32－4×3×7×cos180°＋72＝169，∴|2a－b|＝13.]4．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°C[由(2a＋b)·b＝0，得2a·b＋b2＝0，设a与b的夹角为θ，∴2|a||b|cosθ＋|b|2＝0，∴cosθ＝－＝－＝－，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.]5．如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC＝BD，|AD|＝1，则AC·AD＝()A．2B．C．D．D[设|BD|＝x，则|BC|＝x，AC·AD＝(AB＋BC)·AD＝BC·AD＝|BC|·|AD|cos∠ADB＝x·1·＝.]二、填空题6．已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝____________．[设a＝(1，0)，b＝(0，1)，则c＝(2，－)，所以cos〈a，c〉＝＝.]7．已知a⊥b，(3a＋2b)⊥(ka－b)，若|a|＝2，|b|＝3，则实数k的值为________．[由已知a·b＝0，a2＝4，b2＝9，由(3a＋2b)·(ka－b)＝0⇒3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0，1∴12k－18＝0，∴k＝.]8．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝________．－8或5[由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.]三、解答题9．已知非零向量a，b，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．[解]由向量垂直得即化简得设a与b的夹角为θ，∴cosθ＝＝＝，又∵θ∈[0，π]，∴a与b的夹角为.10．已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夹角为120°，计算向量2a－b在向量a＋b方向上的射影．[解](2a－b)·(a＋b)＝2a2＋2a·b－a·b－b2＝2a2＋a·b－b2＝2×12＋1×1×cos120°－12＝.|a＋b|＝＝＝＝1.设向量2a－b与向量a＋b的夹角为θ，∴|2a－b|cosθ＝|2a－b|·＝＝.∴向量2a－b在向量a＋b方向上的射影为.1．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是()A．B．C．D．B[因为Δ＝a2－4|a|·|b|cosθ(θ为向量a与b的夹角)，若方程有实根，则有Δ≥0即a2－4|a|·|b|cosθ≥0，又|a|＝2|b|，4|b|2－8|b|2cosθ≥0，∴cosθ≤，又0≤θ≤π，∴≤θ≤π.]2．若向量a，b，c均为单位向量，且a⊥b，则|a－b－c|的最小值为()A．－1B．1C．＋1D．A[因为a，b，c均为单位向量，且a⊥b，所以a·b＝0，所以|a－b|＝＝＝，所以|a－b－c|≥|a－b|－|c|2＝－1.]3．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________．2[b·c＝b·[ta＋(1－t)b]＝ta·b＋(1－t)b2＝t＋1－t＝1－t＝0，解得t＝2.]4．若四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BAD＝60°，则|DC＋BC|＝________．[因为四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BAD＝60°，所以∠DCB＝60°，所以|DC＋BC|2＝|DC|2＋|BC|2＋2DC·BC＝12＋12＋2×1×1cos∠DCB＝3，所以|DC＋BC|＝.]5．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.(1)求证：(a－b)⊥c；(2)若|ka＋b＋c|＞1(k∈R)，求k的取值范围．[解](1)证明：因为|a|＝|b|＝|c|＝1，且a，b，c之间的夹角均为120°，所以(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|cos120°－|b||c|cos120°＝0，所以(a－b)⊥c.(2)因为|ka＋b＋c|＞1，所以(ka＋b＋c)2＞1，即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c＞1，所以k2＋1＋1＋2kcos120°＋2kcos120°＋2cos120°＞1，所以k2－2k＞0，解得k＜0或k＞2.所以实数k的取值范围为{k|k＜0或k＞2}．3
