2.3.2离散型随机变量的方差课时过关·能力提升基础巩固1若X的分布列如下表所示,其中p∈(0,1),则()X01PpqA.E(X)=p,D(X)=pqB.E(X)=q,D(X)=pqC.E(X)=p,D(X)=1-p2D.E(X)=q,D(X)=1-p2解析:由分布列知随机变量X服从两点分布,所以E(X)=q,D(X)=pq.答案:B2已知ξ的分布列为ξ-101P121316若η=2ξ+2,则D(η)的值为()A.−13B.59C.109D.209解析:E(ξ)=-1×12+0×13+1×16=−13,D(ξ)¿(-1+13)2×12+(0+13)2×13+(1+13)2×16=59,则D(η)=D(2ξ+2)=4D(ξ)¿4×59=209.答案:D3已知随机变量ξ服从二项分布,即ξ~B(n,p),且E(ξ)=7,D(ξ)=6,则p等于()A.17B.16C.15D.14解析:根据服从二项分布的随机变量均值和方差的计算公式,可得np=7,np(1-p)=6,解得p¿17.答案:A4已知随机变量ξ的分布列如下,若E(ξ)¿158,则D(ξ)等于()ξ1231P0.5xyA.3364B.5564C.732D.932解析:由分布列性质,得x+y=0.5. E(ξ)¿158,∴2x+3y=118,解得{x=18,y=38.∴D(ξ)¿(1-158)2×12+(2-158)2×18+(3-158)2×38=5564.答案:B5甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相等,所得次品数分别为ξ,η,ξ和η的分布列分别为ξ012P610110310η012P510310210甲、乙两名工人的技术水平较好的为()A.一样好B.甲C.乙D.无法比较解析:工人甲生产出次品数ξ的均值和方差分别为:E(ξ)=0×610+1×110+2×310=0.7,D(ξ)=(0-0.7)2×610+(1−0.7)2×110+(2−0.7)2×310=0.81.工人乙生产出次品数η的均值和方差分别为:E(η)=0×510+1×310+2×210=0.7,D(η)=(0-0.7)2×510+(1−0.7)2×310+(2−0.7)2×210=0.61.由E(ξ)=E(η)知,两人出次品的平均数相同,技术水平相当,但D(ξ)>D(η),可见乙的技术比较稳定.答案:C26若随机变量ξ的分布列为P(ξ=m)¿13,P(ξ=n)=a,若E(ξ)=2,则D(ξ)的最小值等于()A.0B.2C.4D.无法计算解析:在分布列中,概率和为1,则a+13=1,故a¿23. E(ξ)=2,∴m3+2n3=2,∴m=6-2n.∴D(ξ)¿13×(m−2)2+23×(n−2)2=23×(n−2)2+13×(6−2n−2)2=2n2−8n+8=2(n−2)2.∴当n=2时,D(ξ)取最小值0.答案:A7若p为非负实数,随机变量X的分布列为X012P12−pp12则E(X)的最大值是,D(X)的最大值是.解析:由分布列性质可知p∈[0,12],则E(X)=p+1∈[1,32],故E(X)的最大值为32.又D(X)¿(12-p)(p+1)2+p(p+1−1)2+12(p+1−2)2=−p2−p+1=−(p+12)2+54, p∈[0,12],∴当p=0时,D(X)取得最大值1.答案:3218甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,且野生动物的种类和数量也大致相等,而两个保护区内每个季度发现违反野生动物保护条例的事件次数的分布列分别为甲:ξ0123P0.30.30.20.2乙:3η012P0.10.50.4试评定这两个保护区的管理水平.解:甲保护区违规次数ξ的均值和方差为E(ξ)=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3,D(ξ)=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21.乙保护区违规次数η的均值和方差为E(η)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3,D(η)=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41.因为E(ξ)=E(η),D(ξ)>D(η),所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同,但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动,乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定.能力提升1从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是25,设ξ为途中遇到红灯的次数,则随机变量ξ的方差为()A.65B.1825C.625D.18125解析:由随机变量ξ服从二项分布,即ξ~B(3,25),可得D(ξ)=3×25×35=1825.答案:B2设一次试验成功的概率为p,进行100次独立重复试验,当p=时,成功次数的标准差的最大值为.解析:D(ξ)=np(1-p)≤n·(p+1-p2)2=n4,等号在p=1-p,即p¿12时成立,此时,D(ξ)=25,√D(ξ)=5.答案:1253随机变量ξ的分布列为ξ-101Pabc其中a,b,c成等差数列,若E(ξ)¿13,则D(ξ)=¿¿解析: a,b,c成等差数列,∴2b=a+c. E(ξ)¿13,∴−a+c=13,且a+b+c=1,4得{a+c-2b=0,-a+c=13,a+b+c=1,解得{a=16,b=13,c=12.∴D(ξ)¿(-1-13)2×16+(0-13)2×13+(1-13)2×12=169×16+19×13+49×12=59.答案:594盒中有2个白球,3个黑球,从中任取3个球,以X表示取到白球的个数,η表示取到黑球的个数.给出下列各项:①E(X)¿65,E(η)=95;②E(X2)=E(η...
