高中数学 5.4 几个著名的不等式 5.4.2 排序不等式自我小测 苏教版选修4-5-苏教版高二选修4-7数学试题VIP免费

5.4.2排序不等式自我小测1已知a，b，c∈R＋，则a5＋b5＋c5与a3b2＋b3c2＋c3a2的大小关系是________．2设a1，a2，…，an为实数，b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的任一排列，则乘积a1b1＋a2b2＋…＋anbn不小于________．3n个正数与这n个正数倒数的乘积和的最小值为________．4设a，b，c∈R＋，求证：a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab.5设x，y，z∈R＋，求证：＋＋≥0.6设a，b，c为某三角形三边长，求证：a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤3abc.7设a，b，c是正实数，求证：aabbcc≥(abc).8已知a，b，c∈R＋，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是________．9已知a，b，c都是正数，则＋＋≥________.10设c1，c2，…，cn为正数a1，a2，…，an的某一排列，求证：＋＋…＋≥n.11设a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn为任意两组实数，如果a1≤a2≤…≤an，且b1≤b2≤…≤bn，求证：≥×当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时等号成立．12设a，b，c∈R＋，求证：a＋b＋c≤＋＋≤＋＋.1参考答案1．a5＋b5＋c5≥a3b2＋b3c2＋c3a2解析：取两组数a3，b3，c3和a2，b2，c2，且a≥b≥c.由排序不等式，得a5＋b5＋c5≥a3b2＋b3c2＋c3a2.2．a1an＋a2an－1＋…＋ana13．n解析：设0＜a1≤a2≤a3…≤an，则0＜a≤a≤…≤a.则由排序不等式得：反序和≤乱序和≤同序和．∴最小值为反序和a1·a＋a2·a＋…＋an·a＝n.4．证明：不妨设a≥b≥c＞0，则a4≥b4≥c4，运用排序不等式有：a5＋b5＋c5＝a×a4＋b×b4＋c×c4≥ac4＋ba4＋cb4，又a3≥b3≥c3＞0，且ab≥ac≥bc＞0，所以a4b＋b4c＋c4a＝a3ab＋b3bc＋c3ca≥a3bc＋b3ac＋c3ab，即a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab.5．证明：所证不等式等价于＋＋≥＋＋.不妨设0＜x≤y≤z，则x2≤y2≤z2，x＋y≤x＋z≤y＋z，∴≤≤.于是上式的左边为同序和，右边为乱序和，由排序不等式知此式成立．6．证明：不妨设a≥b≥c＞0.易证a(b＋c－a)≤b(c＋a－b)≤c(a＋b－c)．根据排序原理，得a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤a×b(c＋a－b)＋b×c(a＋b－c)＋c×a(b＋c－a)≤3abc.7．证明：不妨设a≥b≥c＞0，则lga≥lgb≥lgc，据排序不等式，有alga＋blgb＋clgc≥blga＋clgb＋algc；alga＋blgb＋clgc≥clga＋algb＋blgc.且alga＋blgb＋clgc＝alga＋blgb＋clgc，以上三式相加整理，得3(alga＋blgb＋clgc)≥(a＋b＋c)(lga＋lgb＋lgc)，即lg(aabbcc)≥·lg(abc)．即lg(aabbcc)≥lg(abc)，又lgx为增函数，所以aabbcc≥(abc).8．大于或等于零解析：设a≥b≥c＞0，所以a3≥b3≥c3，根据排序原理，得a3×a＋b3×b＋c3×c≥a3b＋b3c＋c3a.又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2.所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab.所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab.即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.9．解析：设a≥b≥c＞0，所以≥≥.由排序原理，知2＋＋≥＋＋，①＋＋≥＋＋.②①＋②，得＋＋≥.10．证明：不妨设0＜a1≤a2≤…≤an，则≥≥…≥，∵，，…，是，，…，的一个排列，故由排序原理：反序和≤乱序和，得：a1×＋a2×＋…＋an×≤a1×＋a2×＋…＋an×.即＋＋…＋≥n.11．证明：由题设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn，则由排序原理得：a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，a1b1＋a2b2＋…＋anbn≥a1b2＋a2b3＋…＋anb1，a1b1＋a2b2＋…＋anbn≥a1b3＋a2b4＋…＋an－1b1＋anb2，…，a1b1＋a2b2＋…＋anbn≥a1bn＋a2b1＋…＋anbn－1.将上述n个式子相加，两边同除以n2，得：≥×当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时等号成立．12．证明：不妨设a≥b≥c＞0，于是a2≥b2≥c2，≥≥，应用排序不等式得：a2×＋b2×＋c2×≤a2×＋b2×＋c2×.a2×＋b2×＋c2×≤a2×＋b2×＋c2×.以上两个同向不等式相加再除以2，即得a＋b＋c≤＋＋，再由数组a3≥b3≥c3＞0，≥≥，仿上可证＋＋≤＋＋.综上，可证a＋b＋c≤＋＋≤＋＋.3