核心素养测评五十四圆锥曲线的最值问题(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知F1,F2分别为椭圆C的两个焦点,P为椭圆上任意一点.若的最大值为3,则椭圆C的离心率为()A.B.C.D.【解析】选B.P点到椭圆C的焦点的最大距离为a+c,最小距离为a-c,又的最大值为3,所以=3,所以e=.2.直线l是抛物线x2=2y在点(-2,2)处的切线,点P是圆x2-4x+y2=0上的动点,则点P到直线l的距离的最小值等于()A.0B.C.-2D.【解析】选C.抛物线x2=2y,即y=,y′=x,在点(-2,2)处的切线斜率为-2,则切线l的方程为y-2=-2(x+2),即2x+y+2=0,所以圆心(2,0)到l的距离是=,圆的半径为2,则点P到直线的距离的最小值是-2.3.如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍然以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子:①a1+c1=a2+c2;②a1-c1=a2-c2;③c1a2>a1c2;④<.其中正确式子的序号是()A.①③B.②③C.①④D.②④【解析】选B.对于①,因为椭圆中的a+c是椭圆上的点到焦点的最大距离,所以a1+c1>a2+c2,所以①错误;对于②,因为椭圆中的a-c是椭圆上的点到焦点的最小距离,所以a1-c1=a2-c2,所以②正确;对于③,④,因为由图可以看出椭圆Ⅰ比Ⅱ的离心率大,所以④是错误的,③正确.4.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A,B是C上两动点,且∠AFB=α(α为常数),线段AB中点为M,过点M作l的垂线,垂足为N,若的最小值为1,则α=()A.B.C.D.【解析】选C.如图,过点A,B分别作准线的垂线AQ,BP,垂足分别是Q,P.设|AF|=a,|BF|=b,由抛物线定义得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|.在梯形ABPQ中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.在△AFB中,由余弦定理得|AB|2=a2+b2-2abcosα.所以===4=4≥4=2-2cosα,当且仅当=,即a=b时等号成立.因为的最小值为1,所以2-2cosα=1,解得cosα=,所以α=.二、填空题(每小题5分,共10分)5.如图,已知抛物线C1的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,且过点(3,6),圆C2:x2+y2-6x+8=0,过圆心C2的直线l与抛物线和圆分别交于P,Q,M,N,则|PN|+3|QM|的最小值为________.【解析】由题意,抛物线过点(3,6),得抛物线方程y2=12x,设焦点为F(3,0),圆的标准方程为(x-3)2+y2=1,所以圆心为(3,0),与抛物线焦点重合.半径r=1.由于直线过焦点,所以有+==,又|PN|+3|QM|=(|PF|+1)+(3|QF|+3)=|PF|+3|QF|+4=3(|PF|+3|QF|)+4=3+4≥16+6.当且仅当|PF|=|QF|时取等号.答案:16+66.已知直线l:x+y=3与x轴,y轴分别交于点A,B,点P在椭圆+y2=1上运动,则△PAB面积的最大值为________.【解析】因为l:x+y=3与x轴,y轴分别交于点A,B,所以A(3,0),B(0,3),因此|AB|=3,又点P在椭圆+y2=1上运动,所以可设P(cosθ,sinθ),所以点P到直线l的距离为d==≤=(其中tanφ=),所以S△PAB=|AB|d≤.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知椭圆Γ的中心在原点,焦点在x轴上,焦距为2,且长轴长是短轴长的倍.(1)求椭圆Γ的标准方程.(2)设P(2,0),过椭圆Γ左焦点F的直线l交Γ于A、B两点,若对满足条件的任意直线l,不等式·≤λ(λ∈R)恒成立,求λ的最小值.【解析】(1)依题意,a=b,c=1,a2-b2=c2,解得a2=2,b2=1,所以椭圆Γ的标准方程为+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则·=(x1-2,y1)·(x2-2,y2)=(x1-2)(x2-2)+y1y2.当直线l垂直于x轴时,x1=x2=-1,y1=-y2且=,此时=(-3,y1),=(-3,y2)=(-3,-y1),所以·=(-3)2-=;当直线l不垂直于x轴时,由题意设直线l:y=k(x+1),由整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0,所以x1+x2=-,x1x2=,所以·=x1x2-2(x1+x2)+4+k2(x1+1)(x2+1)=(1+k2)x1x2+(k2-2)(x1+x2)+4+k2=(1+k2)-(k2-2)·+4+k2==-<.要使不等式·≤λ(λ∈R)恒成立,只需λ≥(·)max=,即λ的最小值为.8.已知O为坐标原点,F为椭圆C:+=1的上焦点,C上一点A在x轴上方,且|OA|=.(1)求直线AF的方程.(2)B为直线AF与C异于A的交点,C的弦MN,AB的中点分别为P,Q,若O,P,Q在同一条直线上,求△OMN面积的最大值.【解析】(1)设A(x0,y0)(y0>0),因为|OA|=,所以=①,又因为点A在椭圆上,所以+=1②,由①②解得:或所以A的坐标为或,又...
