学业分层测评(七)三角函数的周期性(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．下列函数中，周期为的是________．(填序号)①y＝sin；②y＝sin2x；③y＝cos；④y＝cos(－4x)．【解析】①T＝＝4π；②T＝＝π；③T＝＝8π；④T＝＝.【答案】④2．下列各图形是定义在R上的四个函数的图象的一部分，其中是周期函数的是________．(填序号)图131【解析】根据周期函数图象特征可知①②③都是周期函数；④不是周期函数．【答案】①②③3．函数y＝2cos(ω＜0)的最小正周期为4π，则ω＝________.【解析】由周期公式可知4π＝⇒|ω|＝，由ω＜0，可知ω＝－.【答案】－4．若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝________.【解析】∵f(x＋5)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，∴f(3)＝f(3－5)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，∴f(4)＝f(4－5)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，∴f(4)－f(4)＝－2＋1＝－1.【答案】－15．函数y＝sin的周期不大于4，则正整数k的最小值为________．【解析】由T＝得T＝＝.∵T≤4，∴≤4，∴k≥π，∴正整数k的最小值为4.【答案】46．设函数f(x)(x∈R)是以π为最小正周期的周期函数，且当x∈时，f(x)＝sinx；当x∈时，f(x)＝cosx，则f＝________.【导学号：06460020】【解析】∵T＝π，x∈时，f(x)＝cosx，∴f＝f＝f＝cos1＝cos＝－cos＝－.【答案】－7．若函数f(x)＝2cos的最小正周期为T，且T∈(1,3)，则正整数ω的最大值是________．【解析】T＝，又T∈(1,3)，∴1<<3，若ω∈N*，则ω＝3,4,5,6，∴ω的最大值为6.【答案】68．已知函数f(x)对于任意x∈R满足条件f(x＋3)＝，且f(1)＝，则f(2014)＝________.【解析】∵f(x＋3)＝，∴f(x＋6)＝＝f(x)，∴f(x)的周期T＝6，∴f(2014)＝f(335×6＋4)＝f(4)．又f(4)＝f(1＋3)＝＝2，∴f(2014)＝2.【答案】2二、解答题9．已知函数y＝f(x)是定义在R上周期为4的奇函数．(1)求f(4)的值；(2)若－2≤x≤－1时，f(x)＝sin＋1，求2≤x≤3时，f(x)的解析式．【解】(1)∵函数y＝f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(4)＝f(4＋0)＝f(0)＝0.(2)设2≤x≤3，则－2≤－4＋x≤－1，∴f(－4＋x)＝sin＋1＝sinx＋1，∴f(x)＝f(－4＋x)＝sinx＋1.10．若单摆中小球相对静止位置的位移x(cm)随时间t(s)的变化而周期性变化，如图1-32所示，请回答下列问题：(1)单摆运动的周期是多少？(2)从O点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？(3)当t＝11s时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？图132【解】(1)从图象可以看出，单摆运动的周期是0.4s.(2)若从O点算起，到曲线上的D点表示完成了一次往复运动；若从A点算起，到曲线上的E点表示完成了一次往复运动．(3)11＝0.2＋0.4×27，所以小球经过11s相对于静止位置的位移是0cm.能力提升]1．已知函数f(x)＝sin，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2016)＝________.【解析】f(x)的周期T＝＝6，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝sin＋sin＋sinπ＋sin＋sin＋sin2π＝0.原式＝336f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＝0.2【答案】02．设f(x)是定义在R上且最小正周期为π的函数，在某一周期上f(x)＝求f－的值．【解】∵f(x)的周期为，∴f＝f＝f.∵0＜＜π，∴f＝sin＝sin＝，即f＝.3
