课时作业16空间向量的数量积运算[基础巩固]一、选择题1．对于空间任意两个非零向量a，b，“a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则两直线的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°3．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈OA，BC〉的值为()A.B.C．－D．04．已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE·AF的值为()A．a2B.a2C.a2D.a25．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为()A.B．6C.D．3＋3二、填空题6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面给出的结论：①|A1A＋A1D1＋A1B1|2＝3|A1B1|2；②A1C·(A1B1－A1A)＝0；③AD1与A1B的夹角为60°；④此正方体体积为|AB·AA1·AD|.则错误结论的序号是________(填出所有错误结论的序号)．7．设|m|＝1，|n|＝2,2m＋n与m－3n垂直，a＝4m－n，b＝7m＋2n，则向量a，b的夹角〈a，b〉＝________.8．已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都是60°，则对角线AC1的长是________．三、解答题9．已知正四面体OABC的棱长为1，如图所示．求：(1)OA·OB；(2)(OA＋OB)·(CA＋CB)．110．如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．[能力提升]11．设A，B，C，D是空间中不共面的四点，且满足AB·AC＝0，AC·AD＝0，AB·AD＝0，则△BCD是()A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定12．如图，在一个直二面角α－AB－β的棱上有两点A，B.AC，BD分别是这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，且AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD＝________.13．BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱ABB1A1、▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角．14．如图，直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．2课时作业16空间向量的数量积运算1．解析：当向量a，b反向共线时，a·b<0，但此时〈a，b〉＝π，夹角不是钝角，即“a·b<0”⇔“〈a，b〉∈，π”，所以“a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的必要不充分条件．答案：B2．解析：设向量a，b的夹角为θ，则cosθ＝＝－，所以θ＝120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°.答案：B3．解析：OA·BC＝OA·(OC－OB)＝OA·OC－OA·OB＝|OA||OC|cos〈OA，OC〉－|OA||OB|cos〈OA，OB〉．因为〈OA，OC〉＝〈OA，OB〉＝，|OB|＝|OC|，所以OA·BC＝0.所以OA⊥BC.所以cos〈OA，BC〉＝0.故选D.答案：D4．解析：在正四面体ABCD中，点E、F分别是BC、AD的中点，∴AE＝AB＋BE，AF＝AD，则AE·AF＝(AB＋BE)·AD＝AB·AD＋BE·AD，因为四面体ABCD是正四面体，所以BE⊥AD，∠BAD＝，所以BE·AD＝0，AB·AD＝|AB|·|AD|·cos＝，所以AE·AF＝.答案：B5.解析： AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，∴AB·AD＝AD·AA1＝AB·AA1＝， AC1＝AB＋AD＋AA1，∴AC12＝AB2＋AD2＋AA12＋2AB·AD＋2AD·AA1＋2AB·AA1＝6，∴|AC1|＝.答案：C6．解析：①因为|A1A＋A1D1＋A1B1|＝|A1C|＝|A1B1|，故①正确；②因为A1C·(A1B1－A1A)＝(A1B1＋A1D1＋A1A)·(A1B1－A1A)＝A1B12＋A1B1·A1D1＋A1B1·A1A－A1B1·A1A－A1A·A1D1－A1A2＝0，故②正确；③AD1与A1B两异面直线的夹角为60°，但AD1与A1B的夹角为120°，注意方向；④因为AB·AA1＝0，故④错误．答案：③④7．解析：因为(2m＋n)⊥(m－3n)，所以(2m＋n)·(m－3n)＝0.化简得m·n＝－2，又|a|＝＝＝＝6.|b|＝＝＝＝3.所以a·b＝(4m－n)·(7m＋2n)＝28|m|2－2|n|2＋m·n＝18.所以cos〈a，b〉＝＝＝1，所以〈a，b〉＝0°.答案：0°8．解析：设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则a2＝b2＝c2＝1，所以a·b＝a·c＝b·c＝|a|2cos60°＝，3所以AC12＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2b·c＋2a·c＋2a·b＝6，所以|AC1|＝....
