高二数学证明人教实验版（B）【本讲教育信息】一.教学内容：证明二.学习目标：掌握常见的直接证明和间接证明的方法；能用适当的方法解决相关问题。三.考点分析：1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到判别式法证。2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“”表述。综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述清楚，也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用。3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。4、放缩法：欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得，，再利用传递性，达到证明的目的．这种方法叫做放缩法。【典型例题】例1.已知a＜1，b＜1，c＜1，求证：ab＋bc＋ca＋1＞0。思考与分析：若从条件入手，本题可以考虑用三角换元或绝对值不等式的性质；若从结论入手，可对所证式子左端进行因式分解，但这些解法都不理想。ab＋bc＋ca＋1含三个字母a，b，c，若从函数角度看，以其中一个字母为主元，另外两个作为字母系数，即构造函数f（a）＝（b＋c）a＋（bc＋1），问题便可迎刃而解。证明：设f（x）＝ab＋bc＋ca＋1＝（b＋c）·a＋（bc＋1），其中a＜1，b＜1，c＜1。因为f（1）＝b＋c＋bc＋1＝（b＋1）（c＋1）＞0，f（－1）＝－（b＋c）＋bc＋1＝（1－b）（1－c）＞0，用心爱心专心由一次函数性质知f（a）＝ab＋bc＋ca＋1＞0。反思：我们在做不等式的证明题时，如果从条件入手或从结论入手都走不通时，我们应试着用构造函数法，往往会给你意外的收获。例2.已知a＞0，b＞0且a＋b＝1。求证：思考与分析：通过题中给出的条件，我们用分析法去思考本题，思路将更加清晰。证明：欲证原不等式成立4（ab）2＋4（a2＋b2）－25ab＋4≥04（ab）2－33ab＋8≥0b≤或ab≥8。 a＞0，b＞0，a＋b＝1。∴ab≥8不可能成立。 1＝a＋b≥，∴ab≤，从而原不等式得证。反思：分析法是寻找使原不等式成立的充分条件，事实上，ab≤或ab≥8都是原不等式成立的充要条件，另外，本题也可用比较法（求差法）证明如下： a＋b＝1，a＞0，b＞0，∴a＋b≥，∴ab≤，可见，比较法也是我们证明不等式最基本的方法之一。例3.已知函数，设a、b∈R，且a≠b，求证：思路：本题证法较多，下面用分析法和放缩法给出两个证明：证明：证法一：①当ab≤－1时，式①显然成立；当ab＞－1时，式①② a≠b，∴式②成立。故原不等式成立。证法二：当a＝－b时，原不等式显然成立；当a≠－b时，∴原不等式成立。点评：此题还可以用三角代换法、复数代换法、数形结合法等证明，留给读者去思考。用心爱心专心例4.证明：对于任意实数x、y，有思路：采取分析法和比较法二者并用的方法来处理。证明：用分析法不等式②显然成立，下面证明不等式①同号，即点评：上述证明中，前半部分用的是分析法，后半部分用的是比较法，两种方法结合使用，使问题较容易解决，这一点应加以注意。例5.用适当方法证明：已知：，求证：证明：（用综合法） ∴例6.已知函数是（－∞，＋∞）上的增函数，。（1）证明命题：若，则；（2）判断（1）中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论。证明：（1）又两式相加，得（2）假设，那么这与已知矛盾，故只有成立，因此逆命题成立。【模拟试题】一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1、若a、b、c∈R，且，则下列不等式成立的是（）A.B.C...
