【金版学案】2016-2017学年高中数学第2章平面向量章末知识整合苏教版必修4专题一平面向量的线性运算[例1]e1，e2是不共线的向量，已知向量AB＝2e1＋ke2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求k的值．分析：因为A，B，D三点共线，所以存在λ∈R，使AB＝λBD，可由已知条件表示出BD，由向量相等得到关于λ，k的方程组，求得k值．解：BD＝CD－CB＝e1－4e2.因为A，B，D三点共线，故存在λ∈R，使AB＝λBD.所以2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)．解得k＝－8.规律方法向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫作向量的线性运算，运用它们的运算法则、运算律，可以解决三点共线、两线段平行、线段相等、求点的坐标等问题．利用向量的相等及向量共线的充要条件是将向量问题实数化的根据，是解决问题的关键．[变式训练]以向量OA＝a，OB＝b为邻边作平行四边形OADB，C为AB与OD的交点，BM＝BC，CN＝CD.若MN＝λa＋μb，求λ＋μ的值．解：如图所示，CD＝OD＝(a＋b)，CN＝CD＝×(a＋b)＝(a＋b)，BC＝BA＝(a－b)，MC＝BC＝(a－b)，MN＝MC＋CN＝(a－b)＋(a＋b)＝a－b.又MN＝λa＋μb，由平面向量的基本定理，λ＝，μ＝－.1因此λ＋μ＝－＝.专题二向量的坐标运算[例2]已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及OP＝OA＋tAB.(1)当t为何值时，P在x轴上？在y轴上？在第二象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．分析：(1)将OP的坐标用t表示出来，然后讨论OP的横、纵坐标．(2)若能成为平行四边形，则有OA＝PB，解出t的值；若t无解，则不能构成平行四边形．解：(1)因为OA＝(1，2)，AB＝(3，3)，所以OP＝OA＋tAB＝(1＋3t，2＋3t)．若点P在x轴上，则2＋3t＝0，t＝－；若点P在y轴上，则1＋3t＝0，t＝－；若点P在第二象限，则解得－＜t＜－.(2)因为OA＝(1，2)，PB＝PO＋OB＝(3－3t，3－3t)，若四边形OABP为平行四边形，则OA＝PB.又无解，故四边形OABP不能成为平行四边形．规律方法向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示，引入向量的坐标表示，向量的运算完全化为代数运算，达到了数与形的统一．运用向量的坐标运算主要可以解决求向量的坐标、向量的模，判断共线、平行等问题．[变式训练]已知点A(3，－4)与点B(－1，2)，点P在直线AB上，且|AP|＝2|PB|，求点P的坐标．解：设点P的坐标为(x，y)，|AP|＝2|PB|.当P在线段AB上时，AP＝2PB.所以(x－3，y＋4)＝2(－1－x，2－y)．所以解得所以点P的坐标为.当点P在线段AB延长线上时，AP＝－2PB.所以(x－3，y＋4)＝－2(－1－x，2－y)．所以解得综上所述，点P的坐标为或(－5，8)．专题三平面向量的数量积[例3]设0＜|a|≤2，且函数f(x)＝cos2x－|a|sinx－|b|的最大值为0，最小值为－4，且a与b的夹角为45°，求|a＋b|.分析：要求|a＋b|需知道|a|，|b|，故可利用函数的最值确立|a|，|b|的值．解：f(x)＝1－sin2x－|a|sinx－|b|＝－＋－|b|＋1.因为0＜|a|≤2，所以当sinx＝－时，|a|2－|b|＋1＝0；当sinx＝1时，－|a|－|b|＝－4.由⇒所以|a＋b|2＝8＋4，即|a＋b|＝2.2规律方法平面向量的数量积是向量的核心内容，通过向量的数量积考查向量的平行、垂直等关系，利用数量积可以计算向量的夹角、长度等．对数量积的正确理解及其性质的灵活应用是解决这类问题的关键．[变式训练](2015·重庆卷)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为()A.B.C.D．π解析：因为(a－b)⊥(3a＋2b)，所以(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.因为|a|＝|b|，设〈a，b〉＝θ，则3|a|2－|a|·|b|·cosθ－2|b|2＝0，所以|b|2－|b|2·cosθ－2|b|2＝0.所以cosθ＝.又因为0≤θ≤π，所以θ＝.答案：A专题四平面向量的应用[例4]如图所示，以△ABC的两边AB，AC为边向外作正方形ABGF，ACDE，M为BC的中点，求证：AM⊥EF.分析：要证AM⊥EF，只需证明AM·EF＝0.将AM用AB，AC表示，EF用AE，AF表示，然后通过向量运算证明．证明：因为M是BC的中点，所以AM＝(AB＋AC)，EF＝AF－AE.所以AM·EF＝(AB＋AC)·(AF－AE)＝(AB·AF＋AC·AF－AB·AE－AC·AE)＝(0＋AC·AF－AB·AE－0)＝(AC·AF－AB·AE)＝[|AC||AB|cos(90°＋∠BAC)－|AB||AC|c...
