高考数学（考点解读命题热点突破）专题11 数列求和及数列的简单应用 文-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题11数列求和及数列的简单应用文【考向解读】数列求和是数列部分高考考查的两大重点之一，主要考查等差、等比数列的前n项和公式以及其他求和方法，尤其是错位相减法、裂项相消法是高考的热点内容，常与通项公式相结合考查，有时也与函数、方程、不等式等知识交汇，综合命题.从全国卷来看，由于三角和数列问题在解答题中轮换命题，若考查数列解答题，则以数列的通项与求和为核心地位来考查，题目难度不大.【命题热点突破一】分组转化法求和例1、(2016·浙江卷)设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.(1)求通项公式an；(2)求数列{|an－n－2|}的前n项和．【变式探究】等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一，二，三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nlnan，求数列{bn}的前n项和Sn.【方法技巧】在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解.在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式.【命题热点突破二】裂项相消法求和例2、设数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n都有6Sn＝1－2an.求数列{an}的通项公式；【变式探究】【2016年高考四川理数】（本小题满分12分）已知数列{}的首项为1，为数列的前n项和，，其中q>0，.（Ⅰ）若成等差数列，求的通项公式；（Ⅱ）设双曲线的离心率为，且，证明：.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）由已知，两式相减得到.又由得到，故对所有都成立.所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列.从而.由成等比数列，可得，即，则，由已知,，故.所以.【方法技巧】裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如(n≥2)或.【命题热点突破三】错位相减法求和例3、已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝an＋1＋n－2，n∈N*，a1＝2.(1)证明：数列{an－1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(n∈N*)的前n项和为Tn，证明：Tn＜6.【解析】(1)证明因为Sn＝an＋1＋n－2，当n≥2时，Sn－1＝an＋(n－1)－2＝an＋n－3，两式相减，得an＝an＋1－an＋1，即an＋1＝2an－1.设cn＝an－1，代入上式，得cn＋1＋1＝2(cn＋1)－1，即cn＋1＝2cn.又Sn＝an＋1＋n－2，则an＋1＝Sn－n＋2，故a2＝S1－1＋2＝3.所以c1＝a1－1，c2＝a2－1＝2，故c2＝2c1.综上，对于正整数n，cn＋1＝2cn都成立，即数列{an－1}是等比数列，其首项a1－1＝1，公比q＝2.所以an－1＝1×2n－1，故an＝2n－1＋1.(2)解由Sn＝an＋1＋n－2，得Sn－n＋2＝an＋1＝2n＋1，故Sn－n＋1＝2n.所以bn＝.所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn＝＋＋…＋，①2×①，得2Tn＝3＋＋＋…＋，②②－①，得Tn＝3＋＋＋…＋－＝－＝3×－＝6－.因为＞0，所以Tn＝6－＜6.【方法技巧】近年高考对错位相减法求和提到了特别重要的位置上，常在解答题中出现，也是考纲对数列前n项和的基本要求，错位相减法适用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列；所谓“错位”，就是要找“同类项”相减.要注意的是相减后得到部分等比数列的和，此时一定要查清其项数.【命题热点突破四】利用数列单调性解决数列不等式问题例4、首项为正数的数列{an}满足an＋1＝(a＋3)，n∈N*.(1)证明：若a1为奇数，则对一切n≥2，an都是奇数；(2)若对一切n∈N*都有an＋1＞an，求a1的取值范围.法二由a2＝＞a1，得a－4a1＋3＞0，于是0＜a1＜1或a1＞3.an＋1－an＞－＝，因为a1＞0，an＋1＝，所以所有的an均大于0，因此an＋1－an与an－an－1同号.根据数学归纳法，∀n∈N*，an＋1－an与a2－a1同号.因此，对一切n∈N*都有an＋1＞an的充要条件是0＜a1＜1或a1＞3.【方法技巧】涉及到数列不等式，比较大小或恒成立问题，经常用到作差法.法一用了作差法和数学归纳法；法二将an＋1－an的符号问题转化为a2－a1的符号问题，再由a...