2016-2017学年高中数学第2章圆锥曲线与方程1.2椭圆的简单性质第1课时椭圆的简单性质课后演练提升北师大版选修1-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．椭圆的一个焦点和短轴的两端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为()A.B.C.D．不能确定解析：由题意知正三角形的边长为a，c为正三角形的高，故e＝＝.答案：B2．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1或＋＝1D．以上都不对解析：由题意知：，∴解得a＝5，b＝4.又焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1.答案：C3．已知椭圆＋＝1有两个顶点在直线x＋2y＝2上，则此椭圆的焦点坐标是()A．(±，0)B．(0，±)C．(±，0)D．(0，±)解析：直线x＋2y＝2与坐标轴的交点为(2,0)，(0,1)，即为椭圆的两个顶点，又焦点在x轴上，∴a＝2，b＝1，∴c＝＝，∴焦点坐标为(±，0)．故选A.答案：A4．已知椭圆＋＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则m等于()A．4B．5C．7D．8解析：由题意知焦距为4，则有m－2－(10－m)＝2，解得m＝8.答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是______________．解析：设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径为4，即a＝2.而＝，得c＝1，所以b＝，则椭圆方程为＋＝1.答案：＋＝16．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是__________．1解析：由题意有2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，消去b整理得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，∴e＝或e＝－1(舍去)．答案：三、解答题(每小题10分，共20分)7．求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)椭圆过(3,0)，离心率e＝；(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8.解析：(1)若焦点在x轴上，则a＝3，∵e＝＝，∴c＝.∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.∴椭圆的方程为＋＝1.若焦点在y轴上，则b＝3，∵e＝＝＝＝，解得a2＝27.∴椭圆的方程为＋＝1.(2)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)．如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，∴c＝b＝4.∴a2＝b2＋c2＝32，故所求椭圆的方程为＋＝1.8.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，求此椭圆的离心率．解析：设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)．则F1(－c,0)，F2(c,0)，A(0，b)，B(a,0)，直线PF1的方程为x＝－c，代入方程＋＝1，得y＝±，∴P.∵PF2∥AB，且kPF2＝＝，又kAB＝－，∴由kPF2＝kAB，得－＝－.∴b＝2c，a＝c，∴e＝.☆☆☆9．(10分)如图，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.2(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；(2)若AF2＝2F2B，AF1·AB＝，求椭圆的方程．解析：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c.所以a＝c，e＝＝.(2)由题知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中，c＝，设B(x，y)．由AF2＝2F2B⇔(c，－b)＝2(x－c，y)，解得x＝，y＝－，即B.将B点坐标代入＋＝1，得＋＝1，即＋＝1，解得a2＝3c2.①又由AF1·AB＝(－c，－b)·＝⇒b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1.②由①，②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.所以椭圆方程为＋＝1.3
