高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.3 函数的极值与导数课时作业（含解析）新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学试题VIP免费

课时作业28一、选择题1．函数f(x)＝－x3＋x取极小值时，x的值是()A．2B．2，－1C．－1D．－3解析：f′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，f′(x)的图象如下图．∵在x＝－1的附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，∴x＝－1时取极小值．答案：C2.[2012·陕西高考]设函数f(x)＝＋lnx，则()A.x＝为f(x)的极大值点B.x＝为f(x)的极小值点C.x＝2为f(x)的极大值点D.x＝2为f(x)的极小值点解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋＝，当x＝2时，f′(x)＝0；当x>2时，f′(x)>0，函数f(x)为增函数；当0－1C.a>－D.a<－解析：y′＝a＋ex，由ex＋a＝0得ex＝－a，x＝ln(－a)．可知x＝ln(－a)为函数的极值点．∴ln(－a)>0，即ln(－a)>ln1.∴a<－1.答案：A4.已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则x＋x等于()A.B.C.D.解析：由图可知f(1)＝0，f(2)＝0，∴解得∴f(x)＝x3－3x2＋2x，∴f′(x)＝3x2－6x＋2.由图可知x1，x2为f(x)的极值点，∴x1＋x2＝2，x1x2＝.∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝.答案：C二、填空题15．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值等于13，则实数m等于__________．解析：y′＝－3x2＋12x，由y′＝0，得x＝0或x＝4，容易得出当x＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m＝13，解得m＝－19.答案：－196．已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝3x－x3的极大值点坐标为(b，c)，则ad＝__________.解析：∵y′＝3－3x2，令y′＝0得x＝±1，且当x>1时，y′<0，当－1≤x≤1时，y′≥0，当x<－1时，y′<0，故x＝1为y＝3x－x3的极大值点，即b＝1.又c＝3b－b3＝3×1－1＝2，∴bc＝2.又∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc＝2.答案：27．已知函数y＝xf′(x)的图象如下图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，给出以下说法：①函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数；②函数f(x)在区间(－1,1)上单调递增；③函数f(x)在x＝－处取得极大值；④函数f(x)在x＝1处取得极小值．其中正确的说法是__________．解析：题号正误原因分析①由图象知，当x∈(1，＋∞)时，xf′(x)>0，故f′(x)>0，f(x)递增②当x∈(－1,0)时，xf′(x)>0，故f′(x)<0；当x∈(0,1)时，xf′(x)<0，故f′(x)<0.综上，当x∈(－1,0)∪(0,1)时，f′(x)<0，故f(x)在区间(－1,0)，(0,1)上是减函数③f(x)在区间(－1,0)上单调递减，故x＝－不是极值点④f(x)在区间(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，故f(x)在x＝1处取得极小值答案：①④三、解答题8．[2013·重庆高考]设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．(1)确定a的值；2(2)求函数f(x)的单调区间与极值．解：(1)因f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，故f′(x)＝2a(x－5)＋.令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝.(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6lnx(x>0)，f′(x)＝x－5＋＝.令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.当03时，f′(x)>0，故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当20)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4.(1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．解：由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d，得f′(x)＝ax2＋2bx＋c.因为f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两个根分别为1,4，所以(*)(1)当a＝3时，由(*)式得解得b＝－3，c＝12.又因为曲线y＝f(x)过原点，所以d＝0.故f(x)＝x3－3x2＋12x.(2)由于a>0，所以“f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a.又Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)．解得a∈[1,9]．即a的取值范围是[1,9]．34