回扣验收特训(一)推理与证明1.正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此f(x)=sin(x2+1)是奇函数,以上推理()A.结论正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.全不正确解析:选C因为f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数,所以小前提不正确.2.数列{an}中,已知a1=1,当n≥2时,an=an-1+2n-1,依次计算a2,a3,a4后,猜想an的表达式是()A.an=3n-2B.an=n2C.an=3n-1D.an=4n-3解析:选B求得a2=4,a3=9,a4=16,猜想an=n2.3.在平面直角坐标系内,方程+=1表示在x,y轴上的截距分别为a,b的直线,拓展到空间直角坐标系内,在x,y,z轴上的截距分别为a,b,c(abc≠0)的平面方程为()A.++=1B.++=1C.++=1D.ax+by+cz=1解析:选A类比到空间应选A.另外也可将点(a,0,0)代入验证.4.用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是()A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根解析:选A至少有一个实根的否定是没有实根,故要做的假设是“方程x3+ax+b=0没有实根”.5.来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人,刚好碰在一起.他们除懂本国语言外,每人还会说其他三国语言中的一种.有一种语言是三个人会说的,但没有一种语言四人都懂,现知道:①甲是日本人,丁不会说日语,但他俩能自由交谈;②四人中没有一个人既能用日语交谈,又能用法语交谈;③乙、丙、丁交谈时,不能只用一种语言;④乙不会说英语,当甲与丙交谈时,他能做翻译.针对他们懂的语言,正确的推理是()A.甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B.甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C.甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D.甲日法、乙英德、丙法德、丁法英解析:选A分析题目和选项,由①知,丁不会说日语,排除B选项;由②知,没有人既会日语又会法语,排除D选项;由③知乙、丙、丁不会同一种语言,排除C选项,故选A.6.已知结论:“在正三角形ABC中,若D是边BC的中点,G是三角形ABC的重心,则=2”.若把该结论推广到空间,则有结论:“在棱长都相等的四面体ABCD中,若△BCD的中心为M,四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”,则=()A.1B.2C.3D.4解析:选C如图,设正四面体的棱长为1,则易知其高AM=,此时易知点O即为正四面体内切球的球心,设其半径为r,利用等积法有4××r=××⇒r=,故AO=AM-MO=-=,故AO∶OM=∶=3.17.图1是一个水平摆放的小正方体木块,图2,图3是由这样的小正方体木块叠放而成的,按照这样的规律放下去,至第七个叠放的图形中,小正方体木块总数就是.解析:分别观察正方体的个数为:1,1+5,1+5+9,…归纳可知,第n个叠放图形中共有n层,构成了以1为首项,以4为公差的等差数列,所以Sn=n+[n(n-1)×4]÷2=2n2-n,所以S7=2×72-7=91.答案:918.用数学归纳法证明:(n+1)+(n+2)+…+(n+n)=(n∈N+)的第二步中,当n=k+1时等式左边与n=k时的等式左边的差等于________.解析:当n=k+1时,左边=(k+2)+(k+3)+…+(2k+2);当n=k时,左边=(k+1)+(k+2)+…+2k,其差为(2k+1)+(2k+2)-(k+1)=3k+2.答案:3k+29.有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是________.解析:法一:由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2,则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3,则甲的卡片上的数字是1和3,满足题意;若丙的卡片上的数字是1和3,则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3,则甲的卡片上的数字是1和2,不满足甲的说法.故甲的卡片上的数字是1和3.法二:因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2,所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5,所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1,所以乙的卡片上的数字是2和3,所以甲的卡片上的数...