高考达标检测（二十四）等比数列的3考点——基本运算、判定和应用一、选择题1．(2017·山西四校联考)已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝()A．4×nB．4×n－1C．4×nD．4×n－1解析：选B由题意得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，解得a＝5，故a1＝4，a2＝6，所以q＝，an＝4×n－1.2．(2016·海口调研)设Sn为等比数列{an}的前n项和，a2－8a5＝0，则的值为()A.B.C．2D．17解析：选B设{an}的公比为q，依题意得＝＝q3，因此q＝.注意到a5＋a6＋a7＋a8＝q4(a1＋a2＋a3＋a4)，即有S8－S4＝q4S4，因此S8＝(q4＋1)S4，＝q4＋1＝，选B.3．(2017·重庆诊断)在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝3，a9＝a2a3a4，则公比q的值为()A.B.C．2D．3解析：选D由a9＝a2a3a4得a1q8＝aq6，所以q2＝a，因为等比数列{an}的各项都为正数，所以q＝a1＝3.4．(2017·江西六校联考)在等比数列{an}中，a5a11＝3，a3＋a13＝4，则＝()A．3B．－C．3或D．－3或－解析：选C由{an}是等比数列得，a5a11＝a3a13＝3，又a3＋a13＝4，解得或故q10＝3或，所以＝＝q10＝3或.5．已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数，数列{bn}满足bn＝lgan，b3＝18，b6＝12，则数列{bn}的前n项和的最大值为()A．126B．130C．132D．134解析：选C设等比数列{an}的公比为q(q>0)，由题意可知，lga3＝b3，lga6＝b6.又b3＝18，b6＝12，则a1q2＝1018，a1q5＝1012，∴q3＝10－6，即q＝10－2，∴a1＝1022.又{an}为正项等比数列，∴{bn}为等差数列，且公差d＝－2，b1＝22，故bn＝22＋(n－1)×(－2)＝－2n＋24.∴数列{bn}的前n项和Sn＝22n＋×(－2)＝－n2＋23n＝－2＋.又n∈N*，故n＝11或12时，(Sn)max＝132.6．在数列{an}中，“an＝2an－1，n＝2,3,4，…”是“{an}是公比为2的等比数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B当an＝0时，也有an＝2an－1，n＝2,3,4，…，但{an}不是等比数列，因此充分性不成立；当{an}是公比为2的等比数列时，有＝2，n＝2,3,4，…，即an＝2an－1，n＝2,3,4，…，所以必要性成立．故选B.二、填空题7．已知数列{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋2＝________.解析：设数列{an}的公比为q，则q3＝＝，解得q＝，a1＝＝4.易知数列{anan＋1an＋2}是首项为a1a2a3＝4×2×1＝8，公比为q3＝的等比数列，所以a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋2＝＝(1－2－3n)．答案：(1－2－3n)8．(2016·辽宁一模)在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，则＋＋＋＝________.解析：因为＋＝，＋＝，由等比数列的性质知a7a10＝a8a9，所以＋＋＋＝＝÷＝－.答案：－9．(2017·邢台摸底)若正项数列{an}满足a2＝，a6＝，且＝(n≥2，n∈N*)，则log2a4＝________.解析：由＝(n≥2，n∈N*)可得数列{an}是等比数列，所以a＝a2a6＝，又a4>0，则a4＝，故log2a4＝log2＝－3.答案：－3三、解答题10．(2016·全国丙卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5＝，求λ.解：(1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝，故a1≠0.由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.因此{an}是首项为，公比为的等比数列，于是an＝n－1.(2)由(1)得Sn＝1－n.由S5＝得1－5＝，即5＝.解得λ＝－1.11．设Sn为数列{an}的前n项和，对任意的n∈N*，都有Sn＝m＋1－man(m为常数，且m>0)．(1)求证：数列{an}是等比数列；(2)设数列{an}的公比q＝f(m)，数列{bn}满足b1＝2a1，bn＝f(bn－1)(n≥2，n∈N*)，求数列{bn}的通项公式．解：(1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝m＋1－ma1，解得a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝man－1－man，即(1＋m)an＝man－1.又m为常数，且m>0，∴＝(n≥2)．∴数列{an}是首项为1，公比为的等比数列．(2)由(1)得，q＝f(m)＝，b1＝2a1＝2.∵bn＝f(bn－1)＝，∴＝＋1(n≥2)，即－＝1(n≥2)．∴数列是首项为，公差为1的等差数列．∴＝＋(n－1)·1＝，即bn＝(n∈N*)．12．已知公比不为1的等比数列{an}的首项a1＝，前n项和为Sn，且a4＋S4，a5＋S5，a6＋S6成等差数列．(1)求等比数列{an}的通项公式；(2)对n∈N*，在an与an＋1之间插入3n个数，使这3n＋2个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为bn，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)因为a4＋S4，a5＋S5，a6＋S6成等差数列，所以a5＋S5－a4－S4＝a6＋S6－a5－S5，即2a6－3a5＋a4＝0，所以2q2－3q＋1＝0，因为q≠1，所以q＝，所以等比数列{an}的通项公式为an＝.(2)由题意得bn＝·3n＝×n，所以Tn＝×＝.
