面积最原始的面积（areas）公理就是用长ｘ宽来计算矩形面积，而其它多边形的面积，则是从矩形面积寻出来的。如古埃及人用[(a+c)/２]x[(b+d)/2]来计算四边顺次为a,b,c,d的四边形的面积，可能他们把任意四边形看成四边不等的矩形了，从而想到用两组对边的平均值来代替矩形的长与宽。他们还用推理来得到三角形面积为(c/2)x[(a+b)/2]，让四边形的一边为0。但这些都是近似的计算公式。我国古代数学家（如刘徽）运用图形“割补”术计算出如三+角形、梯形面积的准确计算公式。古希腊数学家在求积上则运用“原子论”学说及“穷竭法”。在数学史上曾有一些著名的面积计算，如1.海伦公式（约1世纪）用已知三角形三边而求其面积及与之等价的中国秦九韶的三斜求积公式（13世纪）。2.在印度婆罗摩笈多（约593-665后）的书中，出现了有圆内接四边形的求积公式A=√(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)（其中a,b,c,d为四边形的四条边，s为四边形的周长之半）。但他未注明圆内接四边形，也未给出证明。当d=0时，这个公式即为海伦公式。3.古希腊数学家希波克拉底（Hippocrates，前460左右）将两个月牙形的面积之和转化成一个直角三角形的面积，称这为月形定理。4.阿基米德用穷竭法求得了拋物弓形，螺线等曲边图形的面积，阿氏的求积术导致二千多年后积分术的发现。5.我国刘徽（约3世纪）用割圆术求圆的面积方法，成为我国第一位应用极限方法解决数学问题的人。6.印度人常用直观的方法去研究几何图形（12世纪前）他们用“印度圆”的方法求圆面积：取两个相等的圆，把它们等分成相同的分数的全等扇形，然后把它们沿半径剖开（但扇形的圆弧仍然连着）、展平成锯齿条形，然后把它们互相嵌入（如图）即成一个近似的矩形。份数分得愈多，其结果愈接近矩形，这个矩形的高为圆半径r，底为圆周长c，面积为rc，从而得圆面积为s=rc/2=πr2。至今中学的数学教材中，还常用这模型作为讲圆面积计算公式的直观教具，著名的德国天文学家、数学家开普勒（1571-1630）为了得圆面积公式而进一步把圆看作无数个顶点在圆心、底在圆周上的三角形之和。他把圆看成了无数个“微小”三角形面积之和，已经具有了积分学的萌芽。7.除了平面图形的面积外，阿基米德还证明了曲面面积：“球的外切正圆柱的全面积与该球面面积之比3:2”。自17世纪微积分学创立后，图形面积因逐渐有了明确的定义而得到一套求积的科学方法了。
