3.4.基本不等式的证明A级基础巩固一、选择题1．如果a、b为绝对值不相等的非零实数，那么＋的值是()A．大于2B．小于－2或大于2C．小于等于2D．大于－2或小于2解析：a，b同号时大于2，a，b异号时小于－2.答案：B2．下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是()A．lg(x2＋1)≥lg(2x)B．x2＋1>2xC.≤1D．x＋≥2解析：对于A，当x≤0时，无意义，故A不恒成立；对于B，当x＝1时，x2＋1＝2x，故B不成立；对于D，当x<0时，不成立．对于C，x2＋1≥1，所以≤1成立．故选C.答案：C3．给出下面四个推导过程：①因为a，b∈R＋，所以＋≥2＝2；②因为x，y∈R＋，所以lgx＋lgy≥2；③因为a∈R，a≠0，所以＋a≥2＝4；④因为x，y∈R，xy＜0，所以＋＝－≤－2＝－2.其中正确的推导为()A．①②B．②③C．③④D．①④解析：①由于a，b∈R＋，所以，∈R＋，符合基本不等式的条件，故①推导正确；②虽然x，y∈R＋，但当x∈(0，1)和y∈(0，1)时，lgx和lgy都是负数，所以②的推导过程是错误的；③由a∈R，不符合基本不等式的条件，所以＋a≥2＝4是错误的；④由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，，均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．答案：D4．已知t>0，则函数y＝的最小值为()A．－2B.C．1D．2解析：因为t>0，y＝＝t＋－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝，即t＝1时，等号成立．答案：A5．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值为()A．0B．1C．2D．4解析：由题意，知所以＝＝＝＋2≥2＋2＝4，当且仅当x＝y时，等号成立．答案：D二、填空题6．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均1增长率为x，则x与的大小关系是________．解析：因为A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)≤A＝A，所以x≤.答案：x≤7．(2015·湖南卷改编)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为________．解析：法一：由已知得＋＝＝，且a>0，b>0，所以ab＝b＋2a≥2，所以ab≥2.法二：由题设易知a>0，b>0，所以＝＋≥2，即ab≥2.答案：28．下列命题正确的是________(填序号)．①若x≠kπ，k∈Z则sin2x＋≥4；②若a<0，则a＋≥－4；③若a>0，b>0，则lga＋lgb≥2；④若a<0，b<0，则＋≥2.解析：对于①，x≠kπ，k∈Z，则sin2x∈(0，1]．令t＝sin2x，则y＝t＋，函数y在(0，1]上单调递减，所以y≥5，即sin2x＋≥5，当sin2x＝1时等号成立．故①错误；对于②，若a<0，则－a>0，－>0.所以a＋＝－≤－4，当且仅当a＝，即a＝－2时等号成立．故②错误；对于③，若a∈(0，1)或b∈(0，1)，则lga<0或lgb<0，不等式不成立．故③错误；对于④，a<0，b<0，则>0，>0，所以＋≥2＝2，当且仅当＝，即a＝b时等号成立．故④正确．答案：④三、解答题9．已知a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，求证：＋≥4.证明：＋＝＋＋＋＝＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b且c＝d时取“＝”号，所以＋≥4.10．求下列函数的最值：(1)已知函数y＝x＋，x∈(－∞，0)，求此函数的最大值；(2)已知x>0，求f(x)＝＋3x的最小值．解：(1)因为x<0，所以<0.则－x>0，>0，x＋＝－≤－2＝－2，当且仅当－x＝即x＝－1时，取“＝”．因此当x＝－1时，函数有最大值－2.(2)因为x>0，所以f(x)＝＋3x≥2＝12，当且仅当3x＝，即x＝2时取等号．所以f(x)的最小值为12.B级能力提升一、选择题211．设a＞b＞0，则a2＋＋的最小值是()A．1B．2C．3D．4解析：因为a＞b＞0，a2＋＋＝a2＋＝a2＋≥a2＋＝a2＋≥4(当且仅当a＝2b＝时取“＝”)，故.答案：D12．若x>0，y>0，且＋＝1，则xy有()A．最大值64B．最小值C．最小值D．最小值64解析：xy＝xy＝2y＋8x≥2＝8，所以≥8，即xy有最小值64，等号成立的条件是x＝4，y＝16.答案：D13．已知a、b是正数，则、和的大小顺序是()A.≥≥B.≥≥C.≥≥D.≥≥解析：a、b是正数，显然有≥(当且仅当a＝b时，取等号)；再比较与，因为－＝－＝－≤0，所以≤，故选D.答案：D二、填空题14．若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(写出所有正确命题的序号)．①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤＋≥2.解析：①项，因为a＞0，b＞0，2＝a＋b，a＋b≥2，所以≤1，...
