高中数学 第一章 解三角形 专题1.1.2 余弦定理试题 新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题VIP免费

1.1.2余弦定理1．余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即2222cosabcbcA，2______________b，2______________.c2．余弦定理的推论从余弦定理，可以得到它的推论222cos2bcaAbc，cosB________________；cosC________________．3．余弦定理与勾股定理从余弦定理和余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是___________；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是___________；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是___________．从上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广．4．正弦定理与余弦定理的关系（1）正弦定理和余弦定理都从不同的角度刻画了三角形边角之间的数量关系，它们是解决斜三角形问题的两个最重要的定理．（2）在同一个三角形中，正弦定理和余弦定理又是等价的，即由正弦定理可以推出余弦定理，由余弦定理同样也可以推出正弦定理（同学们可以自己尝试证明一下）．因此，在解三角形时，凡是能用正弦定理求解的三角形，必能用余弦定理求解，反之亦然．我们把正弦定理和余弦定理结合起来应用，就能很好地解决三角形的问题．K知识参考答案：1．222cosacacB222cosababC12．2222cabca2222abcab3．直角钝角锐角K—重点利用余弦定理解三角形K—难点综合运用正、余弦定理解三角形及三角形形状的判断K—易错解三角形时，除了保证三边长均为正数，还应判断三边能否构成三角形解三角形问题的常见类型与解法正弦定理、余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素（三角形有三个角和三条边，三角形的边与角称为三角形的元素），如果其中三个元素是已知的（至少要有一个元素是边）那么这个三角形一定可解．斜三角形的解法可以归纳为以下四种类型：1．已知两角及其中一角的对边，如已知,,ABa【一解】（上节内容，此处不再赘述）2．已知两边及其夹角，如已知,,abC【一解】在ABC△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝5，b＝4，C＝120°，则cosA________．【答案】1361122【解析】由余弦定理，得2222coscababC=2254254cos12061+-=，故61c，所以2222246151361cos21222461bcaAbc．【解题技巧】已知两边及其夹角的解题步骤：2（1）由2222coscababC求c；（2）由222cos2bcaAbc求A；（3）由180BAC求B．【名师点睛】求出第三边后，也可用正弦定理求角，这样往往可以使计算简便，应用正弦定理求角时，为了避开讨论（因为正弦函数在区间(0,)上是不单调的），应先求较小边所对的角，因为它必是锐角．3．已知三边【一解】在ABC△中，已知a＝13，b＝2，c＝2，则A_________．【答案】105【解析】由余弦定理的推论，得2222222(13)(2)3cos2222(13)cabBca=，所以30B，由余弦定理的推论，得222222(13)(2)22cos222(13)2=，abcCab所以45C，所以180105ABC．【解题技巧】此类问题可以连续用余弦定理的推论求出两角，常常是分别求较小两边所对的角，再由180ABC求第三个角；或者由余弦定理的推论求出一个角后，也可以根据正弦定理求出第二个角，但应先求较小边所对的角（因为较小的角必定为锐角）．4．已知两边及其中一边的对角，如已知,,abB【两解、一解或无解】已知ABC△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，8,7,60abB，则c_________．3【答案】3或5【解析】方法1：利用正弦定理求解，此处不再赘述．方法2：由余弦定理2222cosbacacB，得2227828cos60=cc，整理得28150,cc解得3c或5．【解题技巧】此类问题的求解步骤：方法1：①根据正弦定理经讨论求A；②求出A后，由180ABC求C；③由sinsinacAC求c；方法2：可以根据余弦定理，列出以边c为未知数的一元二次方程222(2cos)()0caBcab，根据一元二次方程的解法求边c，然后应用正弦定理或余弦定理求其他元素．判断三角形的形状判断三角形的形状有以下几种思路：（1）转化为三角形的边来判断，可简记为“化角为边...