重庆市永川中学高二数学第2周第1次小题单（函数单调性与导数）1．已知函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为()A．[－1，＋∞)B．(－∞，2]C．(－∞，－1)和(1,2)D．[2，＋∞)2．已知函数y＝xf′(x)的图象如图(1)所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是()3．函数y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的单调增区间是()A.和B.和C.和D.和4．设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解区间是()A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)5．已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，则b的范围为________．6．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是____________．7．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．(1)求a、b的值；(2)求函数f(x)的单调性．8．（选作）已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)．若函数f(x)＝a·b在区间(－1,1)上是增函数，求t的取值范围．9（选作）)设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.(1)若a＝，求f(x)的单调区间；(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．答案1.[答案]B[解析]令k≤0得x0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－∞，2]．2[答案]C[解析]当01时xf′(x)>0，∴f′(x)>0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数，因此否定A、B、D故选C.3.[答案]A[解析]y′＝xcosx，当－π0，当00，∴y′＝xcosx>0.4.解析：∵[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，∴由题意知，当x<0时，[f(x)g(x)]′>0.∴f(x)g(x)在(－∞，0)上是增函数．又g(－3)＝0，∴f(－3)g(－3)＝0.1∴x∈(－∞，－3)时，f(x)g(x)<0；x∈(－3,0)时，f(x)g(x)>0.又∵f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，∴f(x)g(x)在R上是奇函数，其图象关于原点对称．∴当x>0且x∈(0,3)时，f(x)g(x)<0.综上，故选D.答案：D5.[答案]b<－1或b>2[解析]若y′＝x2＋2bx＋b＋2>0恒成立，则Δ＝4b2－4(b＋2)>0，由题意b＜－1或b＞2.6.[答案][3，＋∞)[解析]y′＝3x2－2ax，由题意知3x2－2ax<0在区间(0,2)内恒成立，即a>x在区间(0,2)上恒成立，∴a≥3.7.[解析](1)求导得f′(x)＝3x2－6ax＋3b.由于f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f′(1)＝－12，即，解得a＝1，b＝－3.(2)由a＝1，b＝－3得f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)．令f′(x)>0，解得x<－1或x>3；又令f′(x)<0，解得－10，即f(x)在(－1,1)上是增函数．故t的取值范围是t≥5.9.[解析](1)a＝时，f(x)＝x(ex－1)－x2，f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增，在[－1,0]上单调递减．(2)f(x)＝x(ex－1－ax)．令g(x)＝ex－1－ax，则g′(x)＝ex－a.若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x≥0时g(x)≥0，即f(x)≥0.当a>1，则当x∈(0，lna)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x∈(0，lna)时g(x)<0，即f(x)<0.综合得a的取值范围为(－∞，1]．2
